2.2 Случай линейного уравнения. Выбор начальных данных. Радиус сходимости ряда, представляющего решение

Рассмотрим линейное уравнение, записанное в нормальной форме

(2.2.1)

Мы видим, что его правая часть , являясь линейной функцией от у, голоморфна относительно у в любой точке . Поэтому для выполнимости условий теоремы Коши достаточно потребовать голоморфности p и q в точке , беря любым.

Будем по-прежнему считать, что

Итак, пусть поставлена задача Коши

(2.2.2)

Предположим, что p и q голоморфны в точке 0:

(2.2.3)

Утверждение. Задача Коши (2.2.2) имеет единственное решение, голоморфное точке 0, причём ряд (2.1.13), представляющий это решение, будет заведомо сходиться в той же самой области

(2.2.4)

В которой сходятся ряды (2.2.3), представляющие функции p и q.

Доказательство этого утверждения будем проводить по той же схеме, что и в общем случае. При этом окажется, что в силу линейности уравнения (2.2.1) можно взять мажоранту, определенную в более широкой области, что и обеспечит сходимость решения (2.1.3) в области (2.2.4).

Сначала методом неопределенных коэффициентов строим формальное решение (2.1.3). Окажется, что

(2.2.5)

Для доказательства сходимости ряда (2.1.3) воспользуемся мажорантой задачи Коши (2.1.10), где F - мажоранта для функции (2.2.1). Для построения мажоранты F достаточно заменить функции р и q их общей мажорантой Ф, в качестве которой можно взять

(2.2.6)

Где

М - некоторое положительное число.

В самом деле, взяв положительное число , меньше , будем иметь

Поэтому

И ряды

Будут мажорировать ряды (2.2.3). Поэтому в качестве общей мажоранты для p и q можно взять функцию (2.2.6), где М = max (М₁, М₂).

Итак,

Или

Таким образом, в качестве мажорантной задачи Коши можно взять

Решая эту задачу, имеем

Откуда

Полученное решение, очевидно, голоморфно в точке 0:

(2.2.7)

Далее, так же как и в общем случае теоремы Коши, устанавливается, используя (2.2.5), что

Поэтому ряд (2.2.7) мажорирует формальный ряд (2.1.3), вследствие чего ряд (2.1.3) заведомо сходится в области . Но можно выбрать сколь угодно близким к . Поэтому ряд (2.1.3) представляет решение задачи Коши во всём интервале (2.2.4). Утверждение доказано.

На практике возможность построения голоморфного решения задачи Коши для линейного уравнения зависит от аналитических свойств и аналитической структуры функций р и q. Если, в частности, эти функции суть полиномы, то не только , но и можно задавать произвольно, а ряд

(2.2.8)

представляющий решение, будет сходиться при всех . В случае, когда р и q являются отношениями полиномов , за можно брать любое число, не являющееся нулем знаменателя (только при таком выборе в качестве можно брать любое число); причём радиус сходимости ряда (2.2.8) равен расстоянию от точки до ближайшего из нулей заменителя, включая комплексные. Наконец, если p и q - любые целые функции (не обязательно полиномы), то будем иметь ту же ситуацию, что и в случае полиномов: и - любые и ряд (2.2.8) сходится при всех .

Отмеченные два преимущества линейных уравнений, относящиеся к выбору и , и области сходимости ряда (2.2.8), имеют большое теоретическое и прикладное значение, значительно облегчая построение общей теории. Нелинейные уравнения такими свойствами не обладают. Мы это уже видели для уравнения (см. задачу Коши (1.7)).

Доказанная теорема Коши и ее линейный случай распространяются на нормальную систему дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задача Коши (1.16)

Предположим, что все f_т голоморфны точке ; тогда существует единственное решение задачи Коши (1.16), голоморфное точке .

В случае линейной системы задача Коши

При условии, что Р_{тl (}х) и f_т (х) голоморфны в точке , а - любые заданные числа, имеет единственное решение, голоморфное в точке ; причём ряды

Представляющие это решение, заведомо сходятся в той же области, в которой сходятся ряды, представляющие Р_{тl (}х) и f_т (х).

Для уравнений высших порядков (и систем таких уравнений) тоже имеет место теорема существования и единственности голоморфного решения задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме (1.13).

Если функция f голоморфна в точке , то задача Коши (1.13) имеет единственное решение, голоморфное в точке .

Это следует из того, что задача Коши (1.13) равносильна задаче Коши для соответствующей нормальной системы.

(2.2.9)

Существование и единственность голоморфного решения, которой обеспечено теоремой существования и единственности голоморфного решения нормальной системы, ибо правые части системы (2.2.9) голоморфны в начальной точке.

В случае линейного уравнения n-го порядка задача Коши

(2.2.10)

При условии, что функции Р₁, …, Р_п и f голоморфны в точке, а - любые заданные числа, имеет единственное решение, голоморфное точке , а ряд (1.15)

Представляющий это решение, заведомо сходится в той же области, в которой сходятся ряды, представляющие функции Р₁, …, Р_п и f.

Это утверждение следует из того, что задача Коши (2.2.10) равносильна задаче Коши для соответствующей нормальной системы, которая на этот раз окажется линейной:

(2.2.11)

Все коэффициенты этой (линейной) системы и функция голоморфны в точке . А тогда задача Коши (2.2.11) имеет единственное решение у₁, …, у_n, голоморфное в точке , какие бы начальные значения искомых функций не взяли. В том числе существует у₁ = у. Это решение представимо в виде ряда (1.15)