5. Степень произведения многочленов.
Теорема: степень произведения многочленов и равна сумме степеней сомножителей.
До-во: пусть степени многочленов и соответственно равны и . Сгруппировав все ненулевые члены максимальной степени в многочленах и получим представление этих многочленов в виде :
где – многочлен, все члены которого имеют степень ;
многочлен, все члены которого имеют степень – многочлен, степень которого меньше – многочлен, степень которого меньше
Тогда (4)
Очевидно, что все члены многочлена имеют степень Так как
– область целостности, то из и следует, что
Итак, произведение содержит члены с ненулевыми коэффициентами степени . Легко заметить, что все члены слагаемых в равенстве (4) имеют меньшую степень. Отсюда следует, что степень произведения равна
до-но.
Определение: многочлен называется однородным многочленом или формой, если все его члены имеют одинаковую степень.
Однородный многочлен первой степени называется линейной формой, второй степени – квадратной формы, третьей степени – кубической формы.
- 25. Произведение двух многочленов с целыми коэффициентами.
- 26. Алгебраическая замкнутость поля.
- 27. Основная теорема алгебры.
- 28. Неприводимые над полем комплексных чисел многочлены.
- 29. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
- 30. Решение уравнений 3 степени. Формулы Кардана.
- 31. Решение уравнений 4 степени. Кубическая резольвента.
- 32. Множество многочленов от нескольких переменных над областью целостности.
- 33. Кольцо многочленов от нескольких переменных над областью целостности.
- 34. Степень многочлена от нескольких переменных.
- 5. Степень произведения многочленов.
- 36. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- 7. Лемма о высшем члене многочлена.
- 38.Свойства симметрических многочленов.
- 39.Элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета.
- 40. Основная теорема о симметрических многочленах.
- 41. Условие при которых многочлены имеют общий корень
- 42. Результант многочленов Решение системы двух уравнений с двумя переменными с помощью результанта.
- 43. Необходимое и достаточное условие существования общего корня у многочленов