7. Лемма о высшем члене многочлена.

Лемма 2.1. (о высшем члене многочлена).

Высший член произведения двух многочленов и , отличных от нуля, равен произведению высших членов этих многочленов.

Доказательство.

Расположим члены в многочленах и в словарном порядке.

;

;

Найдём произведение следующим образом: вначале умножим последовательно все члены многочлена, начиная с первого на первый член многочлена . Очевидно, что при этом словарный порядк расположения членов не нарушится. То есть мы получим группу членов, высшим из которых будет: -(3)’

Далее умножим все члены многочлена на второй член многочлена .

Получим группу членов, высшим из которых будет: -(3) и т.д.

Наконец, все члены многочлена умножим на последний член многочлена Получим группу членов высшим из которых будет:

Очевидно, что высший член произведения следует искать среди высших членов найденных групп. Но они в свою очередь составляют группу членов, полученных последовательным умножением многочлена , начиная с первого, на первый член многочлена . При таком умножении словарный порядок расположения членов не нарушится. Следовательно, высшим членом этой группы будет член (3), он же и будет высшим членом произведения . Следовательно, высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей и . Теорема доказана.