31. Решение уравнений 4 степени. Кубическая резольвента.

Всякое уравнение 4 степени можно представить в виде:

.

Заменой переменной это уравнение приводится к виду:

(12)

Данное уравнение можно решить способом Феррари. Перенесём все слагаемые в уравнении (12) кроме первого в правую часть

Введем вспомогательную переменную и прибавим к обеим частям последнего уравнения

Подберем так, чтобы справа также был квадрат двучлена. Это будет выполняться тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трехчлена относительно переменной y равен 0, т.е.

Полученное уравнение третьей степени называется кубической резольвентой уравнения (12). Пусть – корень уравнения (12). Подставив его в уравнение (11) получим уравнение вида:

Корни этих уравнений и являются корнями уравнения четвертой степени.

Таким образом, решение уравнения 4-ой степени способом Феррари сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени.