38.Свойства симметрических многочленов.

Определение: многочлен из кольца называется симметрическим, если в результате любой перестановки переменных в этом многочлене получается многочлен равный исходному.

Свойства симметрических многочленов:

1. сумма, разность и произведение симметрических многочленов из кольца также являются симметрическими многочленами из этого кольца.

Согласно приведённому свойству множество симметрических многочленов образует подкольцо кольца

2. пусть выражение – (1) является членом симметрического многочлена Тогда членом этого многочлена также является и всякое выражение, полученное из (1) в результате перестановки показателей при переменных.

3. Пусть выражение (1) является высшим членом симметрического многочлена , тогда выполняются неравенства -(2)

До-во. Поменяем местами показатели и в выражении (1). Получим выражение: a - (3), которое согласно предыдущему свойству также является членом многочлена . Так как (1) – высший член многочлена, то, в частности, он выше (2).

Отсюда следует, что Поменяем теперь местами в выражении (1), получим также член многочлена a - (4)

Учитывая, что (1) – высший член многочлена, получаем и т.д. В конечном итоге получим неравенства (2).

до-но.