30. Решение уравнений 3 степени. Формулы Кардана.

Всякое уравнение третьей степени представимо в виде

(1)

Мы полагаем, что старший коэффициент равен 1, в противном случае мы бы разделили все коэффициенты уравнения на старший коэффициент и получили бы уравнение равносильное данному. Выполним замену переменной в уравнении (1), приняв

В результате такой замены мы получим уравнение: (2)

Пусть – корень уравнения (2). Рассмотрим квадратное уравнение: ,

(4’) – по теореме Виета (4)

(4’’)

Выполним подстановку из (4) в (2):

или

По теореме Виета из равенств (6) и (7) следует, что и являются

корнями квадратного уравнения , т.е.

следовательно формула (7) называется формулой Кардана

Каждый из кубических радикалов (8) и (9) имеет три значения. Комбинируя эти значения мы получим 9 различных значений . Только три из этих значений являются корнями уравнения (2). Поэтому для каждого значения нужно брать лишь то значение , которое удовлетворяет условию (4)