41. Условие при которых многочлены имеют общий корень

Теорема: многочлены у которых, по крайней мере, один из коэффициентов и отличен от нуля, т. и т.т. имеют общий корень, когда существуют многочлены и удовлетворяющие следующим условиям:

1)

2) многочлены и представимы в виде

;

3) по крайней мере, один из многочленов и отличен от нуля.

до-во:

Необходимость. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют общий корень α .

Тогда они представимы в виде

(1)

Многочлены f(x) и g(x) в равенствах (1) удовлетворяют условиям 1-3теоремы. Действительно, умножив обе части первого равенства на h(x) получим:

Таким образом, выполняется условие 2. Наконец, хотя бы один из многочленов q(x) и h(x) отличен от нуля, в противном случае оба многочлена f(x) и g(x) были бы равны нулю, что противоречит условию.

до-но.