5. Степень произведения многочленов.

Теорема: степень произведения многочленов и равна сумме степеней сомножителей.

До-во: пусть степени многочленов и соответственно равны и . Сгруппировав все ненулевые члены максимальной степени в многочленах и получим представление этих многочленов в виде :

где – многочлен, все члены которого имеют степень ;

многочлен, все члены которого имеют степень – многочлен, степень которого меньше – многочлен, степень которого меньше

Тогда (4)

Очевидно, что все члены многочлена имеют степень Так как

– область целостности, то из и следует, что

Итак, произведение содержит члены с ненулевыми коэффициентами степени . Легко заметить, что все члены слагаемых в равенстве (4) имеют меньшую степень. Отсюда следует, что степень произведения равна

до-но.

Определение: многочлен называется однородным многочленом или формой, если все его члены имеют одинаковую степень.

Однородный многочлен первой степени называется линейной формой, второй степени – квадратной формы, третьей степени – кубической формы.