4. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где – постоянные (коэффициенты ряда),- фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку.

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

ТЕОРЕМА Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1) он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке, чем);

2) он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром врадиуса);

3) если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точкех, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки, чем).

Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно,) такое, что пристепенной ряд сходится, приряд расходится.

Определение

Число R такое, что пристепенной ряд сходится, приряд расходится, называетсярадиусом сходимости. Интервал называетсяинтервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: ,,,.

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Типовые примеры

1) .

►Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: . Применяем признак Дирихле:. Следовательно,. Мы нашли радиус сходимостиR =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала:, ряд сходится., ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7,7]. ◄

2) .

►Ряд из модулей: , признак Коши.- расходится,- расходится, область сходимости - интервал.◄

3).

►Ряд из модулей: , признак Даламбера.- сходится условно,- расходится, область сходимости - полуинтервал.◄

4) .

►Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал .◄

5) .

►Ряд из модулей: , признак Даламбераобласть сходимости - единственная точках=0, .◄

6) .

►Ряд из модулей: , признак Даламберав любой точкех, область сходимости - вся числовая ось .◄

Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Ряд из модулей:; применение к этому ряду признака Коши даёт.

Применение признака Даламбера даёт Итак,.

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

Почленное интегрирование степенного ряда

Пусть сумма степенного ряда на области сходимости равна функции , т.е.. Тогда для.

Почленное дифференцирование степенного ряда

Степенной ряд можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, и .

Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда

Сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.