§3. Знакопеременные ряды.

1. Абсолютная и условная сходимости ряда. Пусть ряд имеет вещественные члены, но знаки их могут быть разные. Такой ряд называютзнакопеременным. Если знаки строго чередуются, то ряд называют знакочередующимся. Его можно записать так

. (1)

ТЕОРЕМА 1 (Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине ипри, то ряд (1) сходится и его сумма не превосходит первого члена.

Замечание

Если ряд (1) удовлетворяет теореме Лейбница, то ей удовлетворяет и -й его остаток ряда. Тогда сумма остатка не превосходит величины первого члена, т.е.. Это значит, что заменяя сумму такого ряда на частичную сумму, мы делаем ошибку, не превышающую величины первого отброшенного члена. Уточняя оценку, найдем, что.

2. Ряд (могут быть комплексными числами) называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд .

ТЕОРЕМА 2. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Замечание

Все ранее рассмотренные достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами можно использовать для определения абсолютной сходимости ряда.

Типовой пример

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд .

►Поскольку , а рядсходится, то по признаку сравнения данный ряд сходится абсолютно. ◄

Сходящийся знакочередующийся ряд называетсяусловно сходящимся, если ряд расходится.

Типовой пример

Исследовать на сходимость ряд .

►По признаку Лейбница ряд сходится, но ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно. ◄