11. Ряды Фурье

Система непрерывных на отрезке [a; b] функций называетсяортонормированной, если

Примером ортонормированных систем являются:

1) , , , , , . . . ,, , . . .

на отрезке [– ;  ];

2) , , , , , ... , , , ...на отрезке [a; b ]; здесь T = b – a, ;

3) система полиномов Лежандра

, , n = 1, 2, 3, ... на отрезке [–1; 1 ].

Имеется множество других примеров ортонормированных систем функций. Ортонормированные системы функций играют роль ортонормированного базиса в некотором пространстве Гильберта функций, определённых на промежутке [a, b]. Любой функции f(x) из этого пространства ставится в соответствие ряд

~, (1)

где C_k находится по формуле

, k = 0, 1, 2, .... (2)

При этом коэффициенты C_k, вычисляемые по формулам (2), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд (1) – рядом Фурье функции f(x).

Важную роль играют полные ортонормированные системы функций. Говорят, что функция f(x), определённая на промежутке [a; b], является функцией с интегрируемым квадратом, если f(x) и интегрируемы на [a; b] (интеграл может быть и несобственным).

Теорема. Пусть – ортонормированная система функций на промежутке [a; b]. Следующие утверждения равносильны:

1. для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом справедливо равенство

,

где C_k – коэффициенты Фурье по системе;

2. для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом

(при выполнении этого равенства говорят, что ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x) в среднем);

3) если f(x) – функция с интегрируемым квадратом и для любого k , то .

Ортонормированная система функций, обладающая любым из условий 1), 2), 3) (а следовательно, и двумя другими), называется полной.

Приведённые выше примеры ортонормированных систем функций обладают свойством полноты.

Если – полная ортонормированная система функций, то для любой функции с интегрируемым квадратом на [a, b], знак «~» в формуле (1) можно в некотором смысле заменить на «=» (фразу «в некотором смысле» проясняет пункт 2) в формулировке теоремы).

Будем говорить, что функции f(x) и g(x) с интегрируемым квадратом на [a, b] равны в смысле среднеквадратичного отклонения, если

,

и будем при этом писать f(x) =_c.o. g(x).

Теорема. Пусть – ортонормированная система функций на [a; b] и пусть f(x) и g(x) – функции с интегрируемым квадратом на [a;b]. Тогда f(x) = _c.o. g(x) на [a; b] в том и только в том случае, если коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x) совпадают.

Чаще других применяют тригонометрическую ортонормированную систему

, , , , , ... , ,, ...

на [a; b], T = b – a, . Ряд Фурье по системе этих функций обычно называют тригонометрическим рядом Фурье:

,

,   n = 0, 1, 2, ... ,

,    n = 1, 2, 3, ... .

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов , в каждом из которыхf(x) монотонна. Аналогично определяется понятие кусочно-непрерывной функции при этом слово «монотонность» заменяется на «непрерывность».

Теорема (Дирихле). Если функция f(x), определённая на отрезке [a;b] является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд сходится во всех точках отрезка [a;b] к некоторой функции S(x). Кроме того:

1) если x – точка непрерывности функции f(x), то S(x) = f(x);

2) если x – точка разрыва (устранимая или первого рода) функции f(x), то

;

3).

Типовой пример

Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

►Заданная функция кусочно-непрерывна, кусочно-монотонна и ограничена на [–2, 2], следовательно, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Найдём коэффициенты Фурье. Имеем T = 4,

.

, n = 1, 2, 3, ... ,

.

Таким образом,

.

Причём

◄

Типовой пример

Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

, –1 < x < 2.

►Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ввиду непрерывности f(x) на (–1; 2)

.

Имеем T = 3, . Найдём коэффициенты a_n и b_n.

.

,

n = 1, 2, 3, ... ,

.

Таким образом,

, –1 < x < 2,

где a_n, b_n, n  1 найдены выше.◄

Если функция f(x), определённая на интервале и удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является чётной, то в её разложении в ряд Фурье будут участвовать лишь косинусы:

,

т.е. все окажутся равными нулю. Если жеf(x) является нечётной функцией на , то её ряд Фурье будет содержать лишь синусы:

.

Если ставится задача разложить функцию f(x), определённую на интервале в ряд по косинусам, то её доопределяют на интервалечётным образом и разлагают новую функциюf₁(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд Фурье будет содержать лишь косинусы. Ввиду того, чтоf(x) и f₁(x) совпадают на , при этом получается разложение функцииf(x) в ряд по косинусам

,

где

.

Аналогично, если требуется разложить функцию f(x), определённую на в ряд по синусам, тоf(x) продолжают на нечётным образом и разлагают новую (нечётную) функциюf₂(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд будет содержать лишь синусы. В результате получим разложениеf(x) в ряд по синусам:

,

где

.

Типовой пример

Разложить функцию , определённую на интервале, в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.

►а) Имеем

, .

Запишем разложение f(x) в ряд по косинусам:

, 0 < x < .

б) Имеем

.

Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье по синусам:

, 0 < x < .◄

Ещё одним важным примером ортонормированной системы функций является

на отрезке [a;b]; здесь, как и прежде T = b – a, . Любую функцию, удовлетворяющую условиям теореме Дирихле, можно разложить в ряд Фурье по этой системе (при этом справедлива теорема Дирихле):

. (14)

Коэффициенты Фурье находятся по формуле

.

Ряд (14) называется рядом Фурье в комплексной форме. При этом между C_n и коэффициентами Фурье a_n, b_n функции f(x) ортонормированной системы существует следующая связь:

, , .

Типовой пример

Разложить функцию f(x) = x на интервале (0; ) в ряд Фурье в комплексной форме.

►В нашем случае T = ,  = 2. Имеем

,

.

Таким образом,

.◄