7. Решение задач на разложение функций в ряд

Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням , решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать.

Типовые примеры

1. Разложить функцию по степеням.

►Имеем. Ряд сходится при.◄

2. Разложить функцию по степеням.

►Имеем . Область сходимости:.◄

3. Разложить функцию по степеням.

►Имеем . Ряд сходится при.◄

4. Разложить функцию по степеням.

►Имеем . Ряд сходится при.◄

5. Разложить функцию по степеням.

►Имеем. . Область сходимости.◄

6. Разложить функцию по степеням.

►Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере

◄

7. Разложить функцию по степеням.

►Если рациональная дробь не является простой, она сначала представляется в виде суммы простых дробей: , а затем действуем, как в примере 5:, где.◄

8. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию.

►Разложим в ряд производную данной функции , воспользовавшись табличным разложением для функции. Имеем

. Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y(0)=0, получим искомое разложение: .◄

9. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х.

►Разложим на элементарные дроби

Воспользуемся готовой формулой

Сложив эти два выражения, окончательно получим

.◄