3. Свойства сходящихся рядов

Мы сформулировали уже некоторые из этих свойств.

1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

2. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, полученный ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, сумме или разности исходных рядов.

6. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом:(здесь- строго возрастающая последовательность натуральных чисел), и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Все сформулированные свойства полностью аналогичны свойствам конечных сумм, хотя и здесь есть свои тонкости. Так, для конечных сумм можно не только расставлять, но и раскрывать скобки; при этом сумма не меняется. Для рядов это неверно. Пример: если в сходящемся ряде 0+0+0+…+0+… = (1-1) + (1-1)+(1-1)+….+(1-1)+… раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд 1-1+1-1+1-1+… . Конечно, если после раскрытия скобок получится сходящийся ряд, его сумма будет такой же, как и у ряда со скобками; это следует из доказанного сочетательного свойства.

7. Переместительное свойство ряда. Ещё больше отличаются поведение конечных сумм и рядов по отношению к переместительному свойству, т.е. к перестановке слагаемых. Если для конечных сумм результат не зависит от порядка слагаемых, то для рядов это не всегда верно.

На перестановку членов резко по разному реагируют абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный результат (ТЕОРЕМА Римана): для любого числа , можно найти такой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S (т.е. сумма ряда будет равна S). Таким образом, перестановкой членов можно даже сделать сходящийся ряд расходящимся (если ).

8. Умножение рядов. Если ряды сходятся абсолютно к своим суммами, то ряд, составленный из всевозможных произведений, также сходится абсолютно и его сумма равна. Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо.