Понятие о численном решении задачи Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, имеет вид:

.

Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: . График решения называется интегральной кривой. Например, решением уравнения является функция при любом значении постоянной С.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти его решение, удовлетворяющее условию

.

Пару чисел называют начальными данными (условиями). Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1) при начальном условии (2). Например, частным решением задачи Коши

является функция .

Частному решению соответствует одна из интегральных кривых, проходящая через точку . Условия существования и единственности решения задачи Коши содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция - правая часть дифференциального уравнения (1) – непрерывна вместе со своей частной производной в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных из этой области задача Коши имеет единственное решение .

При выполнении условий теоремы через точку на плоскости проходит единственная интегральная кривая.

Будем считать, что условия теоремы выполняются. Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение в виде таблицы его приближённых значений для заданных значений аргумента на некотором отрезке :

.

Точки (3) называют узловыми точками, а множество этих точек называют сеткой на отрезке . Будем использовать равномерную сетку с шагом h:

.

Приближённые значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим через , таким образом . Для любого численного метода решения задачи Коши начальное условие (2) выполняется точно, то есть, имеем . Величина погрешности численного метода решения задачи Коши на сетке отрезка оценивается величиной .

Говорят, что численный метод имеет р-й порядок точности по шагу h на сетке, если расстояние d можно представить в виде степенной функции от h: , где С – некоторая постоянная, зависящая от правой части уравнения (1) и от рассматриваемого метода. Очевидно, что когда шаг h стремится к нулю, погрешность d также стремится к нулю.

2. Метод Эйлера.

Простейшим численным методом решения задачи Коши в виде (1)-(2) является метод Эйлера, иногда называемый также методом ломаных Эйлера.

Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке есть . Найдём ординату касательной, соответствующей абсциссе . Так как уравнение касательной к кривой в точке имеет вид , то .

Угловой коэффициент в точке также находится из данного дифференциального уравнения . На следующем шаге получаем новую точку , причём .

Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулы Эйлера для п приближённых значений решения задачи Коши с начальными данными на сетке отрезка с шагом h:

.

Графической иллюстрацией приближённого решения является ломаная, соединяющая последовательно точки , которую называют ломаной Эйлера (см. рисунок).

Оценим погрешность данного метода на одном шаге. Примем без вывода следующее утверждение: погрешность на одном шаге имеет порядок и после п шагов погрешность вычисления значения возрастает не более чем в п раз. Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством

или представить в виде , где .

Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В частности, при уменьшении шага h в 10 раз, погрешность тоже уменьшится примерно в 10 раз.

Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке отрезка с шагом , в точке производят с помощью приближённого равенства – правила Рунге:

, где р – порядок точности численного метода. (5)

Таким образом, оценка полученного результата по формуле (5) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.

Пример 1. Решить задачу Коши

методом Эйлера на отрезке . Найти решение на равномерной сетке с шагом в четырёх узловых точках. Вычислить погрешность вычисления, сравнив его результат с точным значением (аналитическое решение задачи имеет вид ).

Решение.

Здесь . На основе этих данных имеем, используя формулы (4), получаем рекуррентные формулы

.

Последовательно находим

при ;

при ;

при ;

при .

Составим следующую таблицу:

Таким образом, погрешность для приближённых вычислений с шагом 0,1 составляет .

Заметим, что если бы мы использовали формулы (5) (это целесообразно делать с применением специальных компьютерных программ), то величина достигает значения - ошибка метода Эйлера при вычислении с шагом при вычислении с шагом 0,05.

Задание.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка на равномерной сетке отрезка с шагом 0,2 методом Эйлера. Сравнить численное решение с точным значением. Результаты представить в виде таблиц, аналогичных приведённой в примере.

1) ;

2) ;

3) .

Содержание.

Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.

Лекция № 2. Метод итераций для одного уравнения с одним неизвестным.

Лекция № 3. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов.

Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.

Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.

Лекция № 6. Численное дифференцирование.

Лекция № 7. Численное интегрирование.

Лекция № 8. Численные методы безусловной оптимизации.

Лекция № 9. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Назад, в начало комплекса.

Назад, в начало комплекса.