Лекция № 5. Интерполирование функций кубическими сплинами.

Пусть отрезок разбит на частей точками : 

Сплином (иначе – сплайном) й степени называется функция, представляющая собой многочлен степени не выше на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов , причём во всех точках стыка двух интервалов функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше .

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (графиком которой является ломаная) является сплином первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.

Пусть на отрезке определена функция , значения которой в точках равны .

Задача интерполяции функции на отрезке кубическим сплином (сплайном третьей степени) состоит в нахождении функции , равной многочлену третьей степени на каждом отрезке , то есть

,

причём значения сплина в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функции и сплин-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе со своими производными первого и второго порядков:

;

;

.

Условия (2) – (5) дают линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов при соответствующих степенях в многочленах .

Можно показать, что интерполяционный кубический сплин для функции существует и является единственным, если вместе с уравнениями (2) – (5) удовлетворяется пара дополнительных (краевых) условий следующего типа:

I.

II.

III. .

Рассмотрим случай разбиения отрезка на равных частей с шагом , для которого . Разберём подробно построение интерполяционного кубического сплина для условия типа I.

При построении сплина, удовлетворяющего краевым условиям типа I, введём величины , называемые иногда наклонами сплайна в узлах интерполяции.

Можно показать, что интерполяционный кубический сплин вида

удовлетворяет условиям (2), (3), (4) для любых . Из условия (5) и краевых условий I можно определить параметр .

Действительно, легко проверить, что . Кроме того, вычисления показывают, что и .

Если учесть, что

,

и ,

а также краевые условия типа I и условие (5), то получим систему из линейных уравнений относительно неизвестных :

Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных и определить интерполяционный сплин с помощью формулы (6).

Пример 1. На отрезке построить кубический сплин, интерполирующий функцию с шагом , удовлетворяющий на концах отрезка краевым условиям типа I. С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение и сравнить его с точным значением.

Решение.

Будем искать уравнение кубической параболы , удовлетворяющее следующим условиям на концах отрезка и :

Подставив полученные значения и в формулу (6) и получим сплин вида

,

откуда .

Тогда . Точное значение, как известно, равно 0,5. Здесь . Как видим, в данном (достаточно простом) примере сплин-метод обеспечивает достаточно высокую точность приближённых вычислений.

Пример 2. На отрезке построить кубический сплин с шагом , интерполирующий функцию , если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции:

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение и сравнить с точным значением.

Решение.

Представим сплин в виде (6):

При таком представлении должны удовлетворяться уравнения системы (7):

где .

Заметим, что . Тогда имеем:

.

Учитывая, что , получим после преобразований:

;

.

Тогда . Здесь - весьма высокая точность. Из данных примеров видно, что чем больше количество узлов интерполяции, тем выше точность приближённых вычислений.

Задание.

Построить для указанных функций кубический сплин, интерполирующий их на данном отрезке с заданным шагом .

1) В данном задании найти приближённое значение и сравнить с точным значением.

2)

3) . В данном задании найти приближённое значение и сравнить с точным значением.

4)