13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
В этом параграфе мы изложим такой способ решения основной динамической задачи для связанных механических систем, который не содержит недостатков способа изложенного в § 12. Основная идея состоит в том, чтобы общую динамическую задачу об отыскании закона движения системы и сил реакции связей разбить (расчленить) на две задачи: 1) найти сначала закон движения системы (эту задачу в дальнейшем мы и будем называть основной); для этого необходимо получить замкнутую систему уравнений для S =3n-k независимых координат системы (с помощью которых можно задать состояние связанной системы в любой момент времени); 2) затем с помощью уравнений (12,11) определить и неизвестные , если в этом есть необходимость (эта задача тривиальная по сравнению с первой, так как ее решение сводится к взятию вторых производных по временем от координат, что всегда выполнимо). В дальнейшем мы будем решать только основную задачу нахождения закона движения связанной механической системы, состоящей из n материальных точек, на которые наложено k идеальных, удерживающих голономных связей. Необходимые для решения этой задачи уравнения движения можно получить последовательным исключением из системы уравнений Ньютона (12,11) сначала неизвестных сил реакций связей , а затем и зависимых координат связанной системы.
Для исключения сил реакций связей, умножим скалярно каждое из уравнений движения (12,11) на виртуальное перемещение соответствующей точки и сложим почленно результаты умножения. Получаем уравнение
(13,1)
В силу условия идеальности связей (12,10) последняя сумма в (13,1) равняется нулю, поэтому перепишем (13,1) в виде
. (13,2)
Уравнение (13,2) представляет собой математическую формулировку одного из важнейших дифференциальных вариационных принципов механики – принципа Д’Аламбера–Лагранжа, который утверждает: если на механическую систему наложены удерживающие, голономные и идеальные связи, то в каждый момент времени сумма виртуальных работ всех активных сил и так называемых “сил инерции” Д’Аламбера равняется нулю для любого виртуального перемещения системы. Уравнение (13,2) называют так же общим уравнением динамики голономных систем, так как его можно принять в качестве основной и единственной аксиомы для построения теории движения таких систем (из него можно получить любые другие уравнения движения, т.е. как уравнения Ньютона, так и уравнения Лагранжа).
Уравнение (13,2) содержит вариации как независимых, так и зависимых координат связанной системы, так как на ее наложена k связей вида (12,2). Поэтому для получения из (13,2) дифференциальных уравнений движения необходимо исключить из этого уравнения вариации зависимых координат, т.е. перейти к независимым (или, как говорят, обобщенным) координатам механической системы.
Обобщенными (или независимыми) координатами механической системы называют любые 3n-k величин (число которых совпадает с числом степеней воли системы s=3n-k), однозначно определяющих положение системы в пространстве в любой момент времени. Из этого определения следует, что обобщенные координаты должны удовлетворять следующим двум требованиям:
Декартовые координаты точек должны быть однозначными функциями обобщенных координат вида
, (13,3)
если на систему наложенные нестационарные связи, или связи вида
, (13,4)
если на систему наложенные стационарные связи.
Обобщенные координаты необходимо выбирать в полном соответствии с наложенными на систему связями. Это означает, что уравнения связей (12,2) должны обращаться в тождества при подстановке в них функций (13,3) или (13,4).
Поясним сказанное на примере сферического маятника, рассмотренного в § 12. Для этой системы n=1, k=1, поэтому s=3n–k=2, т.е. положение маятника можно задать с помощью двух обобщенных координат, в качестве которых можно выбрать сферические координаты θ и φ. При этом декартовые координаты однозначно выражаются через θ и φ:
, (13,5)
а уравнение связи (12,17) обращается в тождество при подстановке в него функции (13,5), что легко проверить.
Замечание. В §6 мы видели, что состояние свободной системы в любой момент времени определяется одновременным заданием ее декартовых координат и декартовых компонент скоростей точек . Аналогично, состояние связанной системы в любой момент времени полностью определяется одновременным заданием ее обобщенных координат и обобщенных скоростей . Ясно, что физически такое определение состояния системы основано на допущении о возможности одновременного точного измерения у макроскопических тел любых физических величин (см. §6).
Выпишем здесь ряд формул, которыми мы в дальнейшем воспользуемся, описывая переход от декартових координат к обобщенным. Для виртуальных перемещений из (13,3) имеем
, (13,5)
где - вариации обобщенных (независимых) координат. Связь между скоростями точек и их обобщенными скоростями получаем, дифференцируя (13,3) по времени:
. (13,6)
Так как согласно (13,6) скорости являются линейные функции обобщенных скоростей , то беря частные производные по от соотношений (13,6), получаем тождества
. (13.7)
Дале, учитывая, что есть функции обобщенных координат и времени t , и используя (13,6) получаем:
т.е. окончательно имеем тождества
. (13,8)
Перейдем теперь в уравнении (13,2) к обобщенным координатам. Подставляя в (13,2) выражения (13,5) и изменяя порядок выполнения операций суммирования по индексам i и α , получаем
(13,9)
Введем обозначение
(13,10)
и назовем скалярную величину обобщенной силой, соответствующей независимой координате . Так как виртуальные перемещения независимы, то все коэффициенты при всех перемещениях в левой части равенства (13,9) должны обращаться в нуль, т.е. с учетом (13,10) имеем уравнения
. (13,11)
Это и есть, по сути дела, искомые уравнения движения в обобщенных координатах, где и согласно (13,3) и (13,6) следует рассматривать как функции обобщенных координат и скоростей: , . Здесь и в дальнейшем мы воспользуемся сокращенными обозначениями: и . Для лучшего понимания физического смысла величины, состоящей в левой части (13,11), проделаем с ней ряд тождественных преобразований. Прежде всего заметим, что
,
откуда с учетом тождеств (13,7) – (13,8) получаем
и, следовательно,
(13.12)
где - кинетическая энергия системы, представленная как функция обобщенных координат , обобщенных скоростей и времени .
- Введение.
- Логическая структура современной физики.
- Границы применимости физической теории.
- Глава 1. Основные понятия и законы классической механики.
- §2. Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация.
- §3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.
- §4. Законы динамики Ньютона.
- §5. Принцип относительности Галилея.
- § 6. Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики.
- § 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
- Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.
- § 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
- § 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.
- § 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.
- § 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
- Глава 3. Основы аналитической механики.
- § 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.
- 13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
- С учетом (13.12) перепишем уравнения (13.11) в окончательном виде
- § 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.
- § 15. Основная задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
- Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
- Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:
- Обобщим полученные результаты для функционала
- § 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.
- § 17. Канонические уравнения движения.
- Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
- § 18. Скобоки Пуассона.
- § 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.