§ 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.

В § 13 мы дали формальное определение (13.19) функции Лагранжа. Здесь мы покажем, что функция Лагранжа имеет глубокий физический смысл – она есть важнейшая характеристическая функция механической системы, содержащая в себе огромную физическую информацию о состоянии системы в произвольный момент времени. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что уже по внешнему виду функции Лагранжа достаточно просто отыскать законы сохранения, т.е. такие важнейшие первые интегралы уравнений Лагранжа, которые связанны с симметриями пространства и времени (или внешнего силового поля) и наложенных на систему связей (см. гл. 2).

Рассмотрим механическую систему, функция Лагранжа которой явно от времени не зависит, т.е. ; допустим также, что на систему не действуют диссипативные силы. Покажем, что этой информации достаточно для получения закона сохранения полной энергии указанной системы.

Для этого записываем полную производную по временем от :

.

Заменяя здесь соответственно с (13.18) на , получаем

или

. (14.1)

Из (14.1) видно, что если , то в процессе движения системы сохраняется величина

, (14.2)

называемая полной механической энергией. Условие консервативности системы можно рассматривать как требование инвариантности ее функции Лагранжа относительно преобразований «сдвига» во времени: (см. § 9). Физически это требование есть следствием выполнения двух условий: 1) однородности времени для замкнутых систем (или независимости от времени внешних силовых полей); 2) стационарности связей, наложенных на систему.

Новое (в сравнению с даным в § 9) определение (14.2) полной энергии является более общим (поэтому первый интеграл движения (14.2) иногда называют законом сохранения обобщенной энергии), но во всех случаях, когда можно пользоваться понятием полной потенциальной энергии, определение (14.2) совпадает с обычным определением полной энергии как суммы кинетической и потенциальной энергий. Например, для системы, на которую действуют только потенциальные силы, функция Лагранжа имеет вид (13.29), при этом согласно (13.32)

и, следовательно, полная энергия (14.2) равна: . Рассмотрим еще один пример консервативной системы (для который ) с обобщенно-потенциальными силами, обобщенный потенциал которой можно представить в виде суммы , где - однородная линейная функция обобщенных скоростей , и - обычная потенциальная энергия, зависящая только от обобщенных координат . В этом случае, согласно (13.30) и

и, следовательно, полная энергия (14.2) равна: , т.е. в этом случае из полной энергии (14.2) обязательно выпадает линейный по обобщенным скоростям член .

Рассмотрим теперь вопрос о связи вида функции Лагранжа с законами сохранения импульса и момента импульса системы (см. §§ 10-11). При этом следует учесть, что используя «язык» обобщенных координат нужно употреблять понятия обобщенных импульсов, т.е. некоторых обобщений обычных понятий импульса и момента импульса. Поэтому дадим сначала соответствующее определение.

Обобщенными импульсами механической системы называют скалярные величины, которые определяются формулой

, (14.3)

Если обобщенная координата имеет размерность длины, то соответствующий ей обобщенный импульс имеет размерность обычного импульса (например, обобщенные импульсы свободной системы совпадают с проекциями обычных импульсов); если - безразмерная угловая переменная, то имеет размерность момента импульса.

Естественно, что структура обобщенных импульсов несвободной системы оказывается более сложной по сравнению с выражениями для импульса и момента импульса (см. § 3) свободной системы. Например, для системы, описываемой функцией Лагранжа (13.29), имеют вид

. (14.4)

Используя понятие обобщенного импульса (14.3), уравнения Лагранжа (13.18) можно переписать в виде

. (14.5)

Нередко случается так, что некоторые из в явно не входят (а входят лишь их производные по временем ); такие называются циклическими координатами и для них . Тогда из (14.5) получаем следующий закон сохранения: если обобщенная координата является циклической, то сохраняется соответствующий ей обобщенный импульс , т.е.

, если . (14.6)

Заметим, что цикличность некоторой координаты (т.е. требование ) физически есть условие инвариантности функции Лагранжа L системы относительно преобразования или поворота системы как единого целого, т.е. преобразования вида

. (14.7)

Действительно, если инвариантна относительно преобразований (14.7), то ее приращение , обусловленное этими преобразованиями, должно обращаться в нуль, т.е. , что эквивалентно требованию .

В свою очередь, инвариантность относительно преобразований (14.7) есть следствие выполнения следующих двух физических условий: 1) однородности или изотропности пространства (или наличия соответствующей симметрии внешних силовых полей) – см. §§ 10-11; 2) наличием соответствующей симметрии наложенных на систему связей.

Отсюда следует методическая рекомендация:

хотя наборы обобщенных координат, связанных между собой точечными преобразованиями (13.14), теоретически равноправны, однако для упрощения решений конкретных задач механики методом Лагранжа обобщенные координаты системы следует выбирать с учетом симметрии задачи. Только в этом случае отдельные могут оказаться циклическими, а соответствующие им - постоянными (а значение этих важнейших интегралов движения, как указывалось в § 8, значительно упрощает интегрирование дифференциальных уравнений движения Лагранжа).

Т.о., функция Лагранжа действительно является важнейшей функцией состояния механической системы: знание явного вида позволяет не только составить уравнения движения для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, но и получить законы сохранения для таких систем.