Простейшим функционалом является криволинейный интеграл

, (15.1)

зависящий от выбора одной функции . Здесь .

Основная задача вариационного исчисления (в применении к (15.1)) состоит в нахождении такой функции , которая: 1) доставляет экстремум функционалу (15.1) и 2) удовлетворяет граничным условиям

, (15.2)

где , – наперед заданные величины.

Простейший путь решения поставленной задачи состоит в следующем. Допустим, что задача решена и функция есть искомое решение вариационной задачи. Найдем необходимые условия, которым должна удовлетворять эта функция, чтобы функционал I имел экстремум. С этой целью построим новую функцию , близкую к (см. рис.)

, (15.3)

где - произвольная функция, удовлетворяющая таким граничным условиям чтобы подчинялась тем же условиям (15.2), что и , т.е.

, (15.4)

и - малый численный параметр.

Подстановка (15.3) в (15.1) приводит к некоторой вспомогательной функции параметра :

. (15.5)

Тем самым задача отыскания экстремума функционала (15.1) свелась к исследованию на экстремум функции одного переменного . А для этого, как известно, необходимо найти значение производной при и приравнять его нулю (при этом экстремум функционалу (15.1) доставляет по нашему предположению функция , которая получается из функции (15.3) при ).

Вычислим сначала производную от (15.5), используя известное правило дифференцирования интеграла по параметру:

. (15.6)