§ 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.

Рассмотрим замкнутую механическую систему n взаимодействующих между собой материальных точек.

В силу однородности пространства уравнения движения (9.5) должны быть инвариантны (неизменны) при любом параллельном переносе замкнутой системы как одного целого в пространстве. Ясно, что при этом не должно быть и никакого изменения потенциальной энергии системы , существенно определяющей форму уравнений (9.5). Эта инвариантность U накладывает сильные ограничения на ее явный вид: может быть только функцией взаимных положений точек системы, т.е. функцией переменных вида .

Математически параллельный перенос (сдвиг) системы в просторные на произвольный бесконечно малый вектор записывается в виде

, . (10.1)

Изменение U при этом преобразовании координат формально можно записать следующим образом:

. (10.2)

Однако, так как никакого изменения U на самом деле не происходит, то ; поэтому учитывая, что , с учетом (10.2) получаем для замкнутой системы

. (10.3)

Далее, записывая уравнения движения (9.5) в виде

, . (10.4)

и суммируя их почленно, имеем уравнение

. (10.5)

С помощью (10.5) перепишем условие (10.3) в следующем окончательном виде

. (10.6)

Уравнение (10.6) показывает, что в процессе движения замкнутой системы сохраняется его импульс (см. § 3)

. (10.7)

Так как (10.7) – векторное равенство, эквивалентное трем скалярным

(10.8)

то можно сказать, что с однородностью пространства связаны три первых интеграла движения замкнутой механической системы. Аддитивность вектора импульса системы очевидна из его определения; важно отметить, что в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов

; (10.9)

отдельных материальных точек независимо от того, можно или нельзя пренебрегать их взаимодействием между собой.

Т.о., закон сохранения импульса можно сформулировать так: следствием однородности пространства является сохранение импульса замкнутой механической системы.

Замечание 1. Закон сохранения механического импульса (10.7) является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения импульса различных форм движения материи. Следовательно, всякий раз, когда мы сталкиваемся с не сохранением импульса замкнутой механической системы, то причину исчезновения механического импульса следует искать в превращении некоторой его части в импульс других форм или видов движения материи (или в ошибочности нашего предположения о замкнутости системы в более широком, физическом смысле).

Замечание 2. Не сохранение импульса у незамкнутой системы не исключает возможность сохранения отдельных составляющих импульса. Более того, из изложенного ясно видно, что если внешнее силовое поле обладает трансляционной симметрией вдоль некоторого направления в пространстве, то потенциальная энергия системы не изменяется при параллельном переносе этой системы как целого вдоль (т.е. ), поэтому у такой системы сохраняется проекция вектора импульса на указанное направление (т.е. или ).