§ 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.

В формулировке любого закона сохранения главным является указание такого класса механических систем, для которого та или иная физическая величина сохраняется. Для свободных механических систем главной оказывается их классификация с помощью понятия полной потенциальной энергии, приведенная в конце § 7. Действительно, как мы убедимся ниже в этой главе, именно понятие полной потенциальной энергии можно использовать в качестве основной физической величины, способной адекватно характеризовать инвариантные (относительно преобразований пространства и времени) свойства свободных механических систем (величиной, наиболее полно описывающей инвариантные свойства как свободных, так и связанных механических систем, является функция действия).

Рассмотрим такие свободные механические системы, для которых можно ввести понятие о полной потенциальной энергии . Запишем полную производную по временем от U (см. (7.19)):

. (9.1)

Дале, из однородности времени следует, что существуют такие механические системы, полная потенциальная энергия которых от времени явно не зависит, т.е.

, (9.2)

или, что то же самое,

. (9.2')

Действительно, однородность времени означает физическую равноправность всех моментов времени для таких систем, т.е. инвариантность (неизменность) уравнений движения (7.13), а следовательно и потенциальной энергии U при любых, в том числе и бесконечно малых, «сдвигах» во времени, т.е. преобразованиях времени вида

, (9.3)

где δt – произвольный бесконечно малый интервал времени. Формально увеличение δU потенциальной энергии при «трансляции» во времени (9.3) можно записать в виде

. (9.4)

Однако на самом деле вследствие однородности времени никакого изменения потенциальной энергии системы не происходит, т.е. δU = 0, поэтому в силу произвольности δt из (9.4) получаем (9.2). Привлекая теперь результаты § 7, приходим к выводу, что условие (9.2) и , следовательно, (9.2’) выполняется только для замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях (см. (7.15) – (7.17)).

Покажем теперь, что следствием (9.2) или (9.2’) является некоторый закон сохранения. Для этого преобразуем (9.2’) с помощью уравнений движения (7.13)

, . (9.5)

Умножая i-е уравнение системы (9.5) скалярно на вектор и учитывая очевидное равенство

, (9.6)

получаем систему уравнений

, , (9.7)

равносильную системе (9.5). Складывая почленно уравнения (9.7), получаем уравнение

. (9.8)

С помощью (9.8) условие (9.2’) можно теперь переписать в окончательном виде

. (9.9)

Уравнение (9.9) показывает, что в процессе движения рассматриваемых систем сохраняется скалярная величина

, (9.10)

которую называют полной механической энергией системы; она складывается из двух существенно различных членов: кинетической энергии системы (см. § 3)

, (9.11)

зависимой от скорости материальных точек, и потенциальной энергии U (см. § 7), что зависит от их координат. Нетрудно видеть, что Е обладает свойством адитивности: для систем невзаимодействующих между собой частиц имеем (см. (8.6))

; , (9.12)

где Е_i – полная механическая энергия отдельной материальной точки. Механические системы, у которых полная энергия сохраняется, называются консервативными, а (9.2) называют условием консервативности свободной системы.

Т.о., закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: следствием однородности времени является сохранение механической энергии у замкнутых механических систем и систем, находящихся в стационарных потенциальных силовых полях.

Замечание 1. Из изложенного легко видеть, что для систем, находящихся в нестационарных потенциальных силовых полях, полная механическая энергия изменяется по закону (см. § 7)

. (9.13)

Замечание 2. Для исследования энергетических превращений в системах, подверженных действию непотенциальных сил, используют теорему об изменении кинетической энергии, обсуждение которой мы здесь опускаем.

Замечание 3. Закон сохранения (9.10) для консервативной системы следует понимать и как закон превращения механической энергии, так как в процессе движения такой системы происходит непрерывное превращение ее кинетической энергии в потенциальную и обратно. В этом отношении (9.10) есть частный случай всеобщего закона сохранения и превращения энергии различных форм движения материи.