Обобщим полученные результаты для функционала

, (15.10)

зависящего от S независимых функций и их производных . Основная вариационная задача в применении к (15.10) состоит в нахождении такого набора функций , которые: 1) реализуют экстремум функционала (15.10) и 2) удовлетворяют граничным условиям

, (15.11)

где , - заданные величины.

В полной аналогии с предыдущим, строим новые функции , близкие к :

, (15.12)

где - произвольные функции, удовлетворяющие граничным условиям

, (15.13)

и - малые численные параметры. Сводим задачу к отысканию экстремума функции

. (15.14)

Условие экстремума функции (15.14) можно записать в виде

, (15.15)

где мы обозначим . Умножая каждое i-тое равенство (15.15) на и складывая полученные результаты почленно, получаем следующую эквивалентную запись условия экстремума в виде одного уравнения:

. (15.16)

Подставляя сюда (15.14) и используя правило дифференцирования интеграла по параметру, перепишем (15.16) следующим образом:

(15.17)

Для подынтегральной функции в левой части (15.17) имеем:

. (15.18)

Подставляя (15.18) в (15.17) и интегрируя во втором интеграле по частям с учетом граничных условий (15.13), получаем:

. (15.19)

В силу произвольности функций из (15.19) следует вывод: функции , реализующие экстремум функционала (15.10), должны удовлетворять системе уравнений Эйлера

. (15.20)

Полученные результаты можно сформулировать в несколько другом (эквивалентном) виде, если воспользоваться понятием вариации функции и вариации функционала. В полном соответствии с определением вариации функции в § 12, мы определяем вариации функций согласно (15.12) следующим образом:

. (15.21)

Варьирование любой функции влечет за собой варьирование и ее производной ; вариацию мы согласно (15.14) определяем формулой

(15.22)

Из определений (15.21) и (15.22) следует важное правило вычисления вариаций: операции варьирования и дифференцирования перестановочны, т.е.

. (15.23)

Действительно, дифференцируя по равенство (15.21)

,

и сравнивая этот результат с (15.22), получаем (15.23).

В результате варьирования функций и их производных получает приращение и любая функция вида ; вариацией функции называется линейная по и часть приращения этой функции, т.е.

. (15.24)

(Для получения (15.24) нужно разложить в ряд по и и ограничиться для первым не исчезающим слагаемым).

Напомним, что в соответствии с (15.14), . Правые части равенств (15.24) и (15.18) равны (с учетом (15.21) и (15.22)), поэтому формула

(15.25)

дает эквивалентное (15.24) определение вариации функции .

По аналогии с (15.25), первой вариацией функционала (15.10) или просто вариацией функционала (15.10) называют величину , определяемую выражением

(15.26)

Определение (15.26) позволяет переписать результат (15.19) в виде

. (15.27)

Тем самым мы получили другую формулировку результата решения основной вариационной задачи: функции , , реализующие экстремум функционала (15.10), должны обращать в нуль вариацию функционала . Это утверждение, как видно из (15.27), равносильно требованию (15.20); действительно, так как функции независимы, то _. Также независимы и, следовательно, произвольны, поэтому равенство имеет место только при выполнении уравнений Эйлера (15.20).

Определение (15.25) и (15.26) позволяют «извлечь» из (15.17) важное правило: операции варьирования и интегрирования перестановочны, т.е.

. (15.28)

Замечание. По аналогии с определением (15.24) можно дать другое (эквивалентное (15.26)) определение первой вариации функционала: вариацией функционала (15.10) называется линейная (главная) часть приращения

, (15.29)

которое получает функционал вследствие вариации функций и их производных в подынтегральном выражении (отметим здесь, что в физической литературе иногда вариацией называют само приращение (15.29), т.е. величину , что математически некорректно). Для получения явного выражения для разложим функцию в (15.29) в ряд по степеням и и ограничимся в этом разложении только членами первого порядка малости (тем самым мы и получаем линейную часть разности ):

. (15.30)

Учитывая определения (15.24) и (15.25), приходим к выводу, что определение вариации функционала (15.30) эквивалентно определению (15.26). Заметим, что определение (15.30) с учетом (15.24) фактически совпадает со свойством операции варьирование (15.28).