Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:

. (15.7)

С учетом (15.7) перепишем (15.6) в виде

,

откуда условие экстремума , а, следовательно, и функционала I запишется в виде

, (15.8)

где мы учли, что и .

Так как - произвольная функция, то мы приходим к выводу, что равенство (15.8) имеет место только в том случае, если коэффициент, стоящий перед в подынтегральном выражении, тождественно обращается в нуль, т.е.

. (15.9)

Равенство (15.9) называется уравнением Эйлера. Так как функция содержит первую производную , то левая часть (15.9) будет содержать вторую производную , поэтому уравнение Эйлера есть обыкновенноее дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции , и, следовательно, общее решение уравнения (15.9) содержит две произвольные постоянные, которые определяются граничными условиями (15.2). Т.о., мы доказали, что функция , реализующая экстремум (15.1), должна удовлетворять уравнению Эйлера (15.9).