Вопрос 9.

п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.

Определение. Любое конечное множество векторов   называется системой векторов.

Определение. Выражение  , где   называется линейной комбинацией системы векторов  , ачисла   называются коэффициентами этой линейной комбинации.

   Пусть L, Р и S – прямая, плоскость и пространство точексоответственно и  . Тогда   – векторные пространствавекторов как направленных отрезков на прямой L, на плоскости Р и впространстве S соответственно.

Определение. Базисом векторного пространства   называется любой ненулевой вектор  , т.е. любой ненулевой вектор коллинеарныйпрямой L:   и  .

Обозначение базиса  :  – базис  .

Определение. Базисом векторного пространства   называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов пространства  .

                                        рис.1.

, где  ,   – базис  .

Определение. Базисом векторного пространства   называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (т.е. не лежащих в одной плоскости) пространства  .

                                      рис.2.

– базис  .

Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве   по определению, в пространстве   двавектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, впространстве   три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.

п.2. Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,                       (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-vektora-po-bazisu

1) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства    и множеством действительныхчисел R.

2) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства    и декартовым квадратом   множества действительных чисел R.

3) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства    и декартовым кубом 

Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-po-bazisu-prodolzhenie

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где   — координаты вектора.

Свойства

• Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты

• Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:

Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:

При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:

При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:

Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы

Где Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель

Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

   Пусть  – базис пространства   и   – два его произвольных вектора. Пусть   и   – записьэтих векторов в координатной форме. Пусть, далее,  – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1)  ;

2)  .

Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.

   Доказательство. Так как по условию теоремы  ,  , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:

      .

Отсюда следует  .

Аналогично доказывается второе равенство.

Теорема доказана.