Вопрос 6.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Метод Крамера состоит в том, что 1. мы последовательно находим главный определитель системы , т.е. определитель матрицы А

 = det А

2. Вычисление n вспомогательных определителей  _i (i= ), которые получаются из определителя  заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

3. вычисление значения неизвестных x _i =  _i / . Формула Крамера i

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i=  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

  x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5, x₁ + 2x₂ -   x₃ +    4x₄ = -2, 2x₁ -  3x₂ -   x₃ -     5x₄ = -2, 3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0. Решение. Главный определитель этой системы

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители  _i ( i =  ), получающиеся из определителя  путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x₁ =  ₁/ = 1, x₂ =  ₂/ = 2, x₃ =  ₃/ = 3, x₄ =  ₄/ = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

Вопрос 7. Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные. Метод состоит из 2х частей: 1) Прямой ход. Путем элементарных преобразований строк расширенной матрицы привести основную матрицу к треугольному виду.

2) Обратный ход. Путем движения по преобразованной системе снизу вверх выразить значения переменных.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса:  x +  y - 3z = 2, 3x - 2y +  z = - 1, 2x +  y - 2z = 0. Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~  ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: x + y - 3z = 2, -5y + 10z = -7, - 10z = 13. Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим  x = - 0,7.