logo
Bilety_Algebra

Вопрос 24.

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Определение

Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел  , либо множество комплексных чисел  . Тогда последовательность   элементов множества Xназывается числовой последовательностью.

Примеры

Функция   является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид  .

Функция   является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид  .

Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу   одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида  . В частности, пятым членом x5 этой последовательности является слово «май».

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

В математике пределом последовательности элементов пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать», в некотором смысле, элементы данной последовательности. Свойство последовательности, иметь или не иметь предел, называют сходимостью: если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится, в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится. 

Определение

Пусть дано топологическое пространство T и последовательность   Тогда, если существует элемент   такой, что

,

где U(x) — открытое множество, содержащее x, то он называется пределом последовательности xn. Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент   такой, что

,

где d(x,y) — метрика, то x называется пределом xn.

Примеры

Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.