2.6.2.Полный факторный эксперимент.

Возможны два подхода к исследованию многофакторных систем. Первый можно описать формулой: «Изменяй факторы по одному». Исследование системы разбивается на серии, в пределах каждой из которых изменяется (варьируется) лишь один фактор, а остальные неизменны. В следующей серии изменяется второй фак­тор и т. д. Идея другого подхода— построить план экспери­мента, предусматривающий изменение всех влияющих факторов, с тем, чтобы этот план обеспечивал максимум точности, минимум корреляции и другие хорошие статистические свойства. Такой экс­перимент называют многофакторным.

Долгое время в науке господствовал первый подход. Его глав­ное преимущество—наглядность: данные каждой серии легко поддаются интерпретации.

Во втором подходе при том же объеме эксперимента и той же точности опытов получается большая точность резуль­татов.

Геометрическим образом совокупности независимых перемен­ных х и зависимой переменной у является пространство n+1 изме­рения, где n—число независимых переменных; (n+1)-е измерение относится к у. В этом пространстве зависимости у от всех х соот­ветствует n-мерная поверхность, которую обычно называют по­верхностью отклика (результат опыта рассматривается как отклик системы на опыт—заданную совокупность независи­мых переменных, или входов). (Показать рисунок из книги).

План эксперимента указывает расположение опытных точек в n-мерном пространстве независимых переменных (факторном пространстве), или иными словами, условия всех опытов, которые следует провести. Чаще всего план эксперимента задается в виде матрицы планирования — прямоугольной таблицы, каждая строка которой отвечает условиям определенного опыта, а каждый столбец—значениям какой-то из независимых перемен­ных в разных опытах.

Полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Матрица планирования. Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все фак­торы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях: нижнем -1 и верхнем +1, соответствующих значениям кодированных переменных X1,X2,……Xn .

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

В таблице 2 приведены условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном простран­стве вершинам куба с центром в начале координат.

Таблица 2.

Xi= (xi- xi0)/ |xi- xi0| ,

где xi= xi max+ xi min.

Каждый фактор принимает лишь два значения — варьи­руется на двух уровнях, верхнем и нижнем. Поэтому общее число экспериментов N=2 ⁿ

Пример. В четырех опытах исследуется влияние 3 факторов: температуры T,К, давления р, МПа, и времени t, с, на выход продукта.

Здесь в любом из опы­тов температура—либо 1000 К (нижний уровень), либо 1200 К (верхний уровень); аналогично варьируются р и t.Выбор центра плана и интервалов варьирования.:

Таблица 3.

Матрицу планирования эксперимента для этого случая может иметь вид:

Таблица 4.

Из таблицы видны основные принципы построения матриц планирования полного факторного эксперимента:

Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:

(9)

где l - номер опыта; i—номер фактора,(lm) Свойство, выраженное последним

уравнением, называется ортогональностью матрицы.

Оно позволяет вычислять коэф­фициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга . (10)

Расширенная матрица—это матрица, дополненная столб­цами, учитывающими взаимодействия факторов. На прак­тике, как правило, ограничиваются парными взаимодейст­виями.

Расчет коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии рассчитываются методом наи­меньших квадратов. Основное условие метода формулируется следующим образом: коэффициенты регрессии определяются на основании минимизации суммы квадратов отклонений между экспериментальными уэ, и рассчитанными по уравне­нию регрессии yр значениями функции отклика:

(11)

После определения коэффициентов регрессии определяем значимость этих коэффициентов. Все коэффициенты подразделяются на значимые и незначимые. Для определения значимости коэффициентов регрессии сравнивается погрешность вычисления коэффициента с погрешностью экспериментальных данных - , определяемой по формуле (7). Вычисляется доверительный интервал:

.

Здесь t_T - табличное значение критерия Стьюдента, которое находится по числу степеней свободы и доверительной вероятности. Тогда значимость оценивают, сравнивая абсолютные значения коэффициента и доверительного интервала:

.

Если это условие выполнено, то i - коэффициент признаётся значимым.

Незначимые коэффициенты отбрасываются из уравнения регрессии, после чего записывается окончательный вид уравнения регрессии. Это уравнение проверяется на адекватность. Для этого вычисляется оценка дисперсии адекватности:

Здесь B- число значимых коэффициентов регрессии.

Вычисляют расчётное значение критерия Фишера:

По таблице находят табличное значение критерия Фишера. Оно зависит от доверительной вероятности P, числа степеней свободы

f2= N-B и f1= N*(k-1).

На основании этого делается вывод об адекватности или неадекватности уравнения регрессии. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

F_р F_T.

Чем меньше B, тем больше N-B—в этом одна из главных целей, достигаемых при исключении незначимых членов. Если уравнение неадекватно, переходят к более сложной модели (например, повышают степень многочлена), для чего обычно тре­буется постановка добавочных опытов. Иногда можно обойтись без дополнительного эксперимента, если соответствующим образом преобразовать переменные у или х .