22.Метод анализа иерархий. Калибровки.

В исследованиях методов построения оценок было показано, что практически все методы построения предпочтений экспертов можно свести к последовательным оценкам парных сравнений.

При этом такие оценки удобно представить в виде матрицы парных сравнений следующего вида – рисунке 1, где элементы a_ij соответствуют степени предпочтения i–го элемента по отношению к j–му.

xj xi	x1	x2	x3	...	xn
X1	a11	a12	a13		a1n
X2	a21	a22	a23		a2n
X3	a31	a32	a33		a3n
...
xn	an1	an2	an3		ann

Рисунок 1 – Матрица парных сравнений

При этом считается заданным либо множество вариантов, либо множество характеристик вариантов (элементов) X={x₁,...,x_n}, которые сравниваются попарно с точки зрения их предпочтительности, важности, желательности и т.п. Матрица парных сравнений отражает бинарное отношение предпочтения/безразличия на множестве X.

Такой матрице соответствует орграф G у которого дуга из вершины i в вершину j проводится в том случае, если элемент x_i превосходит x_j. Кроме того, дуга нагружается, иначе взвешивается соответствующим элементом a_ij. Такой граф не содержит кратных дуг.

Симметричные элементы матрицы парных сравнений a_ij и a_ij должны выбираться равными, если соответствующие объекты равноценны или несравнимы (далее мы не будем различать эти случаи), если же x_i>x_j, то a_ij должно быть больше a_ji. Кроме этих условий, на элементы матрицы A обычно накладываются дополнительные калибровочные органичения, однозначно связывающие попарно симметричные элементы a_ij и a_ji. Рассмотрим основные типы таких калибровок.

1) Калибровка простой структуры. (ПС):

ж 1, если x_i>x_j;

A_i,j, i<>j a_ij=н 0, если x_i<x_j; (1)

и 1/2, если x_i~x_j;

Диагональные элементы при этом обычно не фиксируются и могут быть любыми, но нередко дополнительно оговаривается, что A_i a_ii=1/2 (что позволяет считать ПС разновидностью упоминающейся далее турнирной калибровки).

Интерпретация: a_ij – индикатор факта превосходства одного объекта над другим или их равноценности (несравнимости).

2)Турнирная калибровка. (Т):

A_i,j a_ij>=0; a_ij+a_ji=c. (2)

Интерпретация: a_ij – число очков, набранных объектом (“игроком”) x_i во всех сравнениях (“встречах”) с x_j; число c=const при этом может интерпретироваться как количество таких сравнений (встреч). Нередко дополнительно постулируется целочисленность матрицы A.

3)Степенная калибровка. (С):

A_i,j a_ij>0; a_ij*a_ji=1. (3)

Интерпретация: объект x_i превосходит в парном сравнении объект x_j в a_ij раз.

4) Кососимметрическая калибровка. (К):

A_i,j a_ij+a_ji=0. (4)

Интепретация: объект x_i превосходит в парном сравнении объект x_j на a_ij.

5)Вероятностная калибровка. (В):

A_i,j 0<=a_ij<=1; a_ij+a_ji=1. (5)

Интерпретация: a_ij – вероятность превосходства x_i над x_j.

При использовании ограничений – калибровок, количество парных сравнений уменьшается с n² до n(n–1)/2, что очень важно с точки зрения стоимости и времени проведения экспертизы.

Отметим, что в МАИ используется степенная калибровка матрицы парных сравнений.