12. Классификация игр. Определение седловой точки.

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.

В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем.

По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.

По характеру взаимодействия игры делятся на:

1. бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;

2. коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции наперёд определены.

По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.

Определение. Если в игре с матрицей А = (нижняя чистая цена равна верхней чистой цене), то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры  = = .

Седловая точка – это пара чистых стратегий (i_о,j_о) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = .Если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе: , где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (i_о,j_о) – стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, седловой элемент является минимальным в i_о-й строке и максимальным в j_о-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (i_о,j_о) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом i_о и j_о называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.

Свойства седловых точек:

1. Равноценность. Если в игре несколько седловых точек, то значения функции выигрыша в них одинаковы.

2. Взаимозаменяемость оптимальных стратегий. Игроки могут заменить свои оптимальные стратегии другими оптимальными стратегиями, при этом равновесие не нарушится, а выигрыш (проигрыш) останется неизменным.