20.Метод анализа иерархий. Этапы.

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, опеределяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР на основе парных сравнений. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. МАИ включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности характеристик и нахождения вариантов решений. Полезно отметить, что полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Решение проблемы, согласно МАИ, – процесс поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные элементы проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценки элементов; следующим этапом может быть выработка способа применения решения и оценка его качества. Весь процесс подвергается проверке и переосмыслению до тех пор, пока не будет уверенности, что процесс охватил все важные характеристики, необходимые для представления и решения проблемы. Процесс может быть проведен над последовательностью уровней иерархии, в этом случае результаты, полученные на одном из них, используются в качестве входных данных при изучении следующего.

В соответствии с работой Т.Саати /1/, предложившего МАИ, для релизации метода необходимо осуществить следующие этапы: Этап 1.Очертить проблему и определить, что необходимо узнать. Этап 2.Построить иерархию, начиная с вершины (цели – с точки зрения управления), через промежуточные уровни (характеристики, от которых зависят последующие уровни) к самому нижнему уровню (который обычно является перечнем альтернатив). Этап 3.Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней – по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня. Этот элемент называют зависимым (направляемым) по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне, так как элемент нижнего уровня влияет на расположенный выше элемент (однако подчинен ему по цели). В полной простой иерархии любой элемент воздействует на каждый элемент примыкающего сверху уровня. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на направляемый элемент. Таким образом, получаем квадратную матрицу суждений. Попарные сравнения проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим на заданном уровне. Эти суждения затем выражаются в целых числах (смотрите таблицу шкалы 1–9). Если элемент А доминирует над элементом Б, то клетка, соответствующая строке А и столбцу Б, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Б и столбцу А, заполняется обратным к нему числом (дробью). Если элемент Б доминирует над элементом А, то проис ходит обратное: целое число ставится в позицию Б, А, а обратная величина автоматически в позицию А,Б. Если считается, что А и Б одинаковы, в обе позиции ставится единица. На данном этапе для получения каждой матрицы требуется n(n–1)/2 суждений (при каждом парном сравнении автоматически приписываются обратные величины). Этап 4.Вычисляются компоненты собственного вектора как средние геометрические по строке. После нахождения, компоненты собственного вектора нормируются, что дает вектор приоритетов или весов объектов. Этап 5.После проведения всех парых сравнений и получения данных по собственному значению и собственному вектору можно определить согласованность. Для этого, используя отклонение l_max от n, проверяем индекс согласованности, сравнивая с соответствующими средними значениями, полученных для матрицы, построенной случайным образом, получаем отношение согласованности. Эти значения приведены ниже в виде таблицы 7. Этап 6.Этапы 3,4 и 5 проводятся для всех уровней и групп в иерархии. Этап 7.Проводится вычисление общего веса варианта решения путем последовательного взвешивания векторов весов нижележащего уровня (вариантов решений) компонентами вектора весов вышележащего уровня (характеристик). При этом вычисляется сумма взвешенных компонент вида SX^н_i*Y^нi_j. Где X^н_i – вес характеристики (элемента) вышележащего уровня иерархии , а Y^нi_j – вес j-го варианта с точки зрения i-ой характеристики вышележащего уровня. Этап 8.Согласованность всей иерархии можно найти, перемножая каждый индекс согласованности на приоритет соответствующей характеристики и суммируя полученные числа. Результат затем делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности, соответствующим размерам каждой взвешенной приоритетами матрицы. Отметим, что приемлемым является ОС не более 10%. Иначе необходимо произвести переоценку соответствующей матрицы. Если это не позволяет улучшить согласованность, то задачу следует более точно структурировать, то есть сгруппировать аналогичные элементы под более значащими (весомыми) характеристиками. После этого необходимо вернуться к этапу 2.