13. Теорема о структуре общего решения лоду

Опр: Система n линейно-независимого решения ЛОДУ n-го порядка называется ФСР

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ

Если функции y₁(х)_, y₂(х)_, … ,y_n(х) – образует ФСР ЛОДУ на интервале (a;b), то линейная комбинация этих решений y(х) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) , есть общее решение этого уровня. (4).

Док-во:

Из теоремы о неравенстве нулю вронскиана линейно-независимых решений ЛОДУ:

Если n решений y_1, y_2, … ,y_n ЛОДУ (2) и они линейно-независимы, на интервале (а,b) то определитель Вронского не может обращаться в ноль (0) ни в одной точке х ‌| для любого Х из (а,b) .

• что (4) являются решением у⁽ⁿ⁾ + P₁y^(n-1) +…+ P_n-1 y’ + P_n y = 0

остается доказать, что можно подобрать const-ты то С₁, С₂, … С_n , таким образом что функция (4) удовлетворяет любой системе начальных условий [н.у.]

Задаем н.у. , при x₀ (а,b) y(х₀) = y₀, y’(х₀) = y₀’, y^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1) определяем C_1,C₂,…, C_n

C ₁y₁(x₀) + C₂y₂(x₀) + … + C_ny_n(x₀) = y₀

C₁y₁’(x₀) + C₂y₂’(x₀) + … + C_ny_n’(x₀) = y₀’ , где y_1, y_2, y_{n -} ФСР C₁ ,C₂ ,C_n

………………………………………….. – const (5)

C₁y₁^(n-1)(x₀) + C₂y₂^(n-1)(x₀) + … + C_ny_n^(n-1) (x₀) = y₀^(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского

W[y_1, y_2, … ,y_n] 0, C_1,C₂,…, C_n - определяется един-м образом

Построим = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x) ,

согласно свойству (если y₁) α₁y₁ + α₂y₂ + …+ α_ny_n = 0 причем хотя бы одно h_i 0.

- является решением ДУ(2) = y(x) , т.к. система (5) определена теми же н.у., что и y(x) ч.т.д.

Следствие:

1) максимальное число линейно-независимых решение ЛОДУ, коэффициенты непрерывны на (a,b) равно порядку этого уравнения.

2) независимо от н.у. все другие решения таких уравнений ЛОДУ является линейной комбинацией этих независимых решений (решений ФС)

3) Пространство решений ЛОДУ n-го порядка имеет базис из n-векторов, т.е. пространство n-мерное.

4) Для решения ЛОДУ n-го порядка необходимо найти ФСР. Общее решение получается как линейная комбинация решений ФС.