16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением

П усть вокруг оси Ox вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией отрезком и прямыми x=a и x=b. Полученная от вращения фигура называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, проведенной через произвольную точку x оси Ox ( ), есть круг с радиусом . Следовательно, .

Применяя формулу объема тела по площади параллельных сечений ( ), получаем

(1)

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции и прямыми x=0, y=c, y=d (c<d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, по аналогии с формулой (1), равен 17. Понятие несобственного интеграла I рода

Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

где c – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции