2. Простейшие операции над векторами

К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.

1) Сложение векторов.

Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов   и  , необходимо конец вектора   совместить с началом  . Вектор  , соединяющий точки   и  , будет их суммой.

Обозначается сума следующим образом:  . Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов   и   совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.

Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством

.

Если слагаемых больше, например, три:  , поступают следующим образом. Строят вначале сумму  , а затем, прибавляя  , получают вектор  .

сумма векторов обладает сочетательным свойством:

.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору  . Очевидно,  .

2) Разность векторов.

Определение 2. Разностью двух векторов   и   называется такой вектор  , сумма которого с вычитаемым   дает вектор  .

Значит, если  , то  .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы   и  . Вектор   соединяет концы векторов   и   и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

если на векторах   и   построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.

 Линейная комбинация векторов 

     Линейной комбинацией векторов   называют вектор

где   - коэффициенты линейной комбинации. Если   комбинация называется тривиальной, если   - нетривиальной.

     Линейная зависимость и независимость векторов 

     Система   линейно зависима     что 

     Система   линейно независима