12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
Определение:
C 1y1(x0) + C2y2(x0) + … + Cnyn(x0) = y0
C1y1’(x0) + C2y2’(x0) + … + Cnyn’(x0) = y0’
…………………………………………..
C1y1(n-1)(x0) + C2y2(n-1)(x0) + … + Cnyn(n-1) (x0) = y0(n-1)
(, где y1, y2, yn - ФСР C1 ,C2 ,…,Cn- const)
Определителем этой системой является определитель Вронского
Теорема: (Необходимое условие линейной зависимости функции, но не являются достаточным)
Если функции y1, y2, … ,yn - линейно зависимы и имеют производные до (n-1) порядка, то их определитель Вронского тождественно равен 0.
Док-во:
Т.к. y1, y2, … ,yn - линейно зависимы, то
α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0 на (a,b), при чём не все α = 0.
Продифференцируем равенство (n-1) раз и получим линейную однородную систему уравнений
α1y1 + α2y2 + …+ αnyn = 0
α1y1’ + α2y2’ + …+ αnyn’ = 0
α1y1’’ + α2y2’’ + …+ αnyn’’ = 0 =>
……………………………..
α1y1(n-1) + α2y2(n-1) + …+ αnyn(n-1) = 0
т.к. не все αi = 0, то система имеет тривиальное решение, определитель этой системы – определитель Вронского.
W[y1, y2, … ,yn ] = 0
- 1. Задача, о площади криволинейной трапеции приводящая к понятию определенного интеграла.
- 2. Классы интегрируемых функций.
- 3. Теорема об определенном интеграле с переменным верхним пределом
- 4. Теорема Лейбница – Ньютона.
- 5. Теорема об интегрировании по частям
- 6. Теорема о замене переменной в определенном интеграле
- 7. Вывод формулы вычисления площади плоской фигуры (в декартовой системе координат)
- 8. Вывод формулы вычисления длины дуги (в декартовой системе координат)
- 9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).
- 10. Теорема об абсолютной сходимости несобственного интеграла 1-го рода
- 11. Сформулируйте и докажите свойства решений олду.
- 12. Теорема о равенстве нулю вронскиана линейно-зависимых функций (необх. Усл. Л.З.).
- 13. Теорема о структуре общего решения лоду
- 14. Теорема о структуре общего решения лнду
- 15. Теорема о суперпозиции решений (принцип сложения решений)
- 16. Метод вариации произвольных постоянных – метод Лагранжа
- 17. Необходимый признак сходимости.
- 18. Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами.
- 19. Предельный признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
- 20. Признак Даламбера.
- 21. Радикальный признак Коши.
- 22. Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
- 23. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- 24.Тригонометрический ряд Фурье. Нахождение коэффициентов для четных и нечетных функций.
- 25. Нахождение коэффициентов для тригонометрического р. Фурье (теорему док).
- 1. Понятие первообразной. Свойства первообразной.
- 2. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.
- 3. Методы вычисления неопределенного интеграла: метод подстановки (замены переменной),
- 4.Интегрирование рациональных функций.
- 7. Интегрирование иррациональных функций.
- 9. Понятие интегральной суммы.
- 10. Понятие определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла
- 11. Необходимый признак интегрируемости функции по Риману. Функция Дирихле.
- 12. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
- 13. Свойства линейности и аддитивности определённого интеграла.
- 14. Свойства определенного интеграла, выраженные неравенствами
- 15. Интегралы с переменным верхним пределом.
- 16. Объем тела вращения с заданным поперечным сечением
- 18. Понятие несобственного интеграла II рода
- 19. 20. Признаки сравнения (для несобственного интеграла I и II рода.)
- 21. Свойства определенного интеграла от чет. И нечт. Функции на симметричном промежутке.
- 22. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка, частное решение, начальные условия, задача Коши.
- 2 3. Теорема о существовании и единственности решения ду в полных дифференциалах.
- 24. О пределитель Вронского.
- 25. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Вид частных решений, характеристическое уравнение
- 26.Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши д.У. Порядка выше первого.
- 27. Числовой ряд. Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой
- 28. Интегральный признак Коши.
- 29. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
- 30. Равномерная сходимость функционального ряда.
- 31. Теорема и признак Вейерштрасса:
- 32. Свойство равномерно сходящихся функциональных рядов.
- 33. Ортогональная система функций:
- 34. Теорема Дирихле. Условия Дирихле.
- 35. Степенные ряды. Область сходимости. Радиус сходимости.
- 36. Ряд Тейлора, область сходимости. Достаточный признак сходимости ряда Тейлора.
- 37. Ряды Маклорена
- 38. Тригонометрический ряд Фурье