Лекция № 4. Интерполирование функций. Формула Лагранжа.

1. Интерполирование функций.

Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами и , описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция остаётся нам неизвестной. Однако на основании эксперимента установлены значения этой функции , при некоторых значениях аргумента , принадлежащих отрезку .

Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычисления её значений (например, многочлен), которая бы представляла неизвестную функцию на отрезке точно или приближённо. В более общей форме эту задачу можно представить так: на отрезке заданы значения неизвестной функции в различных точках .

.

Требуется найти многочлен степени , приближённо выражающий функцию .

В качестве такого многочлена естественно взять многочлен, значения которого в точках совпадают с соответствующими значениями функции (рисунок). Тогда поставленная задача, называемая “задачей интерполирования функции”, формулируется так: для данной функции найти многочлен степени , который при заданных значениях принимал бы значения .

В качестве искомого многочлена возьмём многочлен п-й степени вида

Доказано, что многочлен (1) является единственным, удовлетворяющим сформулированным условиям. Построение этого многочлена можно осуществлять различными способами, разница между которыми состоит лишь в методах вычисления коэффициентов .

2. Интерполяционная формула Лагранжа.

Одним из наиболее распространённых и удобных практически способов построения многочлена, интерполирующего неизвестную функцию , является применение интерполяционной формулы Лагранжа.

Пусть функция определена таблицей

Значения аргументов будем называть узлами интерполяции. Поставим задачу построить многочлен , значения которого в узлах интерполяции равны соответствующим значениям данной функции, то есть .

Для многочлена (1) из пункта 1-го определим значения коэффициентов следующим образом. Должно выполняться условие:

.

Положив в формуле (1) , тогда, учитывая равенства (2), получим:

, откуда .

Аналогично, положив , получим

,

…

.

Подставив полученные выражения для коэффициентов в формулу (1), получим многочлен

Многочлен называется многочленом (полиномом) Лагранжа, а формула (3) – интерполяционной формулой Лагранжа.

Если известно аналитическое выражение, задающее функцию, то погрешность интерполяционной формулы (3) (в случае непрерывности на отрезке самой функции и её производной до - го порядка включительно) оценивается неравенством:

,

где .

Пример 1. Представить приближённо функцию многочленом 2-й степени, если из эксперимента получены следующие её значения:

Решение.

По формуле (3) при имеем:

.

Пример 2. Построить многочлен Лагранжа второй степени, интерполирующий функцию на отрезке , если заданы значения функции в трёх узлах интерполяции.

С помощью интерполяционной формулы вычислить приближённое значение и оценить погрешность результата вычислений.

Решение.

Многочлен Лагранжа для трёх узлов интерполяции запишется так:

или

.

При получим .

С помощью неравенства (4) находим оценку погрешности. Имеем

,

где

,

Так как , то ,

и, следовательно, . Итак, . Заметим, что значение с шестью верными цифрами есть 0,258819.

Задание.

1. Построить многочлен Лагранжа второй степени для функции, заданной таблицей:

2. На основании эксперимента получены значения функции в виде таблицы:

Построить многочлен четвёртой степени, приближённо представляющий данную функцию.

3. Функция аппроксимируется интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени для системы трёх равномерно расположенных на отрезке узлов. Найти приближённое значение функции в точке и оценить погрешность вычисления.