§ 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
Состояние движения свободной механической системы, состоящей из n материальных точек, как было показано в § 6, полностью определяется в каждый момент времени t набором величин
(8.1)
Хотя в процессе движения системы величины (8.1) изменяются, тем не менее можно указать такие функции этих переменных и, в общем случае, времени t, которые при движении системы сохраняют постоянные значения , определяемые начальными условиями:
. (8.2)
Функции (8.2) называют первыми интегралами дифференциальных уравнений движения (или, короче, интегралами движения). То, что такие функции существуют, видно из общего хода решения основной задачи динамики (см. § 6): в качестве функций можно взять постоянные интегрирования Ск, рассматриваемые как решения системы уравнений (6.3) и (6.4); в качестве берутся значения Ск0 этих постоянных Ск в начальный момент времени t0:
, , (8.3)
где
. (8.4)
Это простое схематическое обсуждение не должно «затемнить» тот факт, что проблема отыскания всех интегралов движения – это сложнейшая (в общем случае) математическая задача, которая далеко не всегда решается в явном виде. Действительно, как показывается в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, знание совокупности 6n независимых первых интегралов (8.2) эквивалентно нахождению общего решения системы (6.1') в явном виде, а знание каких-нибудь r<6n первых интегралов дает возможность понизить порядок r уравнений движения и тем самым существенно упростить решение динамической задачи. Получить же законы движения (6.3) – (6.4) и их решения (8.3) в явном виде можно только для такой системы уравнений (6.1'), для которой возможно полное распределение переменных. Поэтому при решении нетривиальных задач механики обычно довольствуются уже тем и тогда, когда удается сравнительно просто получить хотя бы несколько первых интегралов движения общего типа (8.2) и облегчить тем самым задачу интегрирования уравнений движения.
Важно отметить, что далеко не все первые интегралы имеют одинаковую «ценность» в механике (и в других разделах физики). Среди них есть несколько таких интегралов движения, постоянство которых существенно связано с постулатами о пространстве и времени, особенно с симметриями пространства и времени (их однородностью и изотропностью). Эти интегралы движения, имеющие общий вид
, (8.5)
выделяют в особую группу и называют законами сохранения.
Существование указанных интегралов движения, их количество, явный вид и связь с симметриями пространства и времени устанавливается так называемой теоремой Нетер.
Помимо связи со свойствами пространства и времени, сохраняющиеся величины типа (8.5) обладают следующими замечательными свойствами:
аддитивности: значение этих физических величин для системы, состоящей из невзаимодействующих между собой материальных точек, равно сумме значений тех же величин для каждой точки в отдельности, т.е.
; (8.6)
о выполнении для любой механической системы законов сохранения (8.5) можно судить по наиболее общим признакам этой системы, не прибегая к анализу ее уравнений движения – достаточно только выяснить, к какому из перечисленных в конце § 7 классу свободных механических систем относится рассматриваемая система. Этим свойством интегралы движения общего вида (8.2) не обладают – информацию о них можно получить только путем предварительного анализа дифференциальных уравнений движения.
Отмеченные особенности интегралов движения (8.5) возводят их в ранг наиболее фундаментальных законов природы – законов сохранения. Всего существует семь таких сохраняющихся физических величин: энергии, три компонента импульса и три компонента момента импульса.
Замечание. Глубокая связь между перечисленными законами сохранения и симметриями пространства и времени была осознана физиками только в ХХ-м веке. Роль законов сохранения и симметрий (как упомянутых, так и других) в развитии современной физики настолько велика, что они в настоящее время возведены в ранг методологических принципов физики – принципа сохранения и принципа симметрии. В особенности велика роль этих принципов при исследовании таких физических объектов, законы движения которых еще не открыты.
- Введение.
- Логическая структура современной физики.
- Границы применимости физической теории.
- Глава 1. Основные понятия и законы классической механики.
- §2. Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация.
- §3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.
- §4. Законы динамики Ньютона.
- §5. Принцип относительности Галилея.
- § 6. Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики.
- § 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
- Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.
- § 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
- § 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.
- § 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.
- § 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
- Глава 3. Основы аналитической механики.
- § 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.
- 13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
- С учетом (13.12) перепишем уравнения (13.11) в окончательном виде
- § 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.
- § 15. Основная задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
- Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
- Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:
- Обобщим полученные результаты для функционала
- § 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.
- § 17. Канонические уравнения движения.
- Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
- § 18. Скобоки Пуассона.
- § 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.