§13. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку.
Лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами :
( 5 )
Спосіб розв’язування . Загальний розв’язок ( з.н.) неоднорідного рівняння (5) дорівнює сумі загального розв’язку з.о. ) відповідного однорідного рівняння ( 3) і частинного розв’язку( ч.н. ) рівняння ( 5 ) :
з.н = з.о. + ч.н.
неоднорідного рівняння шукається по вигляду правої частини
Приклади:
Якщо ч.н. = не є коренем характеристичного рівняння (4) ; ч.н. = ч.н. = , коли є кратним коренем рівняння ( 4 ) . - шуканий коефіцієнт .
Якщо , то частинний розв’язок шукають у вигляді ч.н. = або ч.н. , якщо система відносно невідомих коефіцієнтів у першому випадку несумісна .
Якщо або
ч.н. = - невідомі коефіцієнти , які треба відшукувати , підставляючи ч.н. в (5) і розв’язуючи систему , складену порівнянням коефіцієнтів при однакових степенях .
Приклад. Розв’язати рівняння :
Розв’язання . Спочатку знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння що відповідає даному неоднорідному рівнянню. Його характеристичне рівняння = -1. Тому з.о. =
Дальше знаходимо частинний розв’язок даного неоднорідного рівняння . Для правої частини даного рівняння згідно вказаного правила ( випадок 1, число і не є коренем характеристичного рівняння ) , многочлен другого степеня :
= ч.н. = .
Звідси , диференціюючи , знаходимо в дане рівняння , одержимо рівність
або
одержимо систему
із якої знаходимо
Отже , , а шуканий загальний розв’язок даного неоднорідного рівняння .
Вправи:
Розв’язати рівняння:
116. , 117.
118. 119.
120. 121.
122. 123.
124. 125.
126. 127.
- §1.Поняття про диференціальні рівняння
- §2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .
- § 3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними .
- §4. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними .
- §5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- §6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку .
- Алгоритм розв’язання
- §7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті .
- 8. Рівняння в повних диференціалах .
- Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку .
- Запитання для самоконтролю:
- Диференціальні рівняння вищих порядків.
- §10.Основні поняття та означення . Задача Коші.
- §11.Простіші диференціальні рівняння другого порядку .
- §12. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами .
- §13. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку.
- Запитання для самоконтролю
- Системи диференціальних рівнянь
- §14.Нормальні системи рівнянь .
- Список літератури