§12. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами .

Рівняння виду , називається лінійним однорідним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами .

Спосіб розв’язування . Складаємо характеристичне рівняння

(4)

Можливі три випадки :

1. якщо дискримінант тобто характеристичне рівняння (4) має два різні корені то загальний розв’язок рівняння (3) буде

де

2. якщо , то

3. якщо , то де , тоді

Приклад 1. Знайти загальний розв’язок рівняння

∆ Характеристичне рівняння має дійсні і рівні корені Оскільки це другий випадок , то загальний розв’язок має вигляд

Приклад 2.

∆ Корені характеристичного рівняння комплексні :

Тут , тому загальним розв’язком є функція

Вправи:

101. Серед даних диференціальних рівнянь вкажіть лінійні однорідні другого порядку із сталими коефіцієнтами :

1) =0;

102. Чи є дані функції розв’язками даних рівнянь :

1)

2)

3)

Розв’язати рівняння:

103. ; 104.

105. 106.

107.

109.

111.

113.

115. Розв’яжіть задачу Коші :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

із сталими коефіцієнтами .