§7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті .
Розглянемо класи рівнянь , які за допомогою певних перетворень можна звести до лінійних .
Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду .
При n=0 це рівняння - лінійне , а при n=1 – з відокремлюваними змінними. Припускаючи поділимо дане рівняння на , тоді матимемо рівняння виду
Таким чином , заміною рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння . Проте на практиці розв’язок рівняння Бернуллі зручніше шукати методом Бернуллі у вигляді , не зводячи його до лінійного . Слід зазначити , що при , крім розв’язку , рівняння Бернуллі має розв’язок
Рівнянням Ріккаті називається рівняння виду
- задані функції .
Якщо p , f , q – сталі числа , то це рівняння інтегрується відокремленням змінних . Коли то дане рівняння стає лінійним , а у випадку рівнянням Бернуллі . У загальному випадку рівняння Ріккаті не інтегрується в квадратурах . Проте якщо відомо його один частинний розв’язок , то заміною рівняння Ріккаті зводиться до рівняння Бернуллі .
Приклад. Розв’язати рівняння
Задане рівняння є рівнянням Ріккаті . Неважко пересвідчитись , що функція у = х - розв’язок цього рівняння , тому заміна зводить його до рівняння Бернуллі :
Далі маємо
- ;
Отже , розв’язком даного рівняння є :
у = х ; =
Вправи
Розв’язати рівняння Бернуллі :
66. 67.
68. 69.
70. ; 71.
72. 73.
- §1.Поняття про диференціальні рівняння
- §2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .
- § 3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними .
- §4. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними .
- §5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- §6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку .
- Алгоритм розв’язання
- §7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті .
- 8. Рівняння в повних диференціалах .
- Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку .
- Запитання для самоконтролю:
- Диференціальні рівняння вищих порядків.
- §10.Основні поняття та означення . Задача Коші.
- §11.Простіші диференціальні рівняння другого порядку .
- §12. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами .
- §13. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку.
- Запитання для самоконтролю
- Системи диференціальних рівнянь
- §14.Нормальні системи рівнянь .
- Список літератури