§2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .

Задачі , розв’язання яких зводиться до диференціальних рівнянь ,що містять похідні або диференціали дуже різні .

При складанні диференціального рівняння задачі у вигляді співвідношення між похідними використовується геометричний , фізичний та механічний зміст похідної . Крім того , в залежності від умови, використовуються відомі закони фізики , хімії , механіки та інших наук і різні математичні відомості .

Задача 1. Знайти рівняння лінії , що проходить через точку ( 1;3) і має дотичну , кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2х – 3.

Розв’язання. Використовуючи умову , складемо диференціальне рівняння :

Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння :

Підставивши початкові дані х=1, у=3 в загальний розв’язок , одержимо С=5. Тоді частинний розв’язок має вигляд у=х²-3х+5 .

Задача 2. Знайти залежність швидкості падіння тіла в повітрі , якщо сила протидії повітря пропорційна квадрату швидкості v і площі S найбільшого перетину тіла , перпендикулярного до напрямку руху , F=kSv²

Розв’язання . Згідно умови задачі і другого закону Ньютона в механіці , диференціальне рівняння руху центра тяжіння падаючого тіла буде

,

Вправи

9. Скласти рівняння кривої , що проходить через точку (1; 3) , якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в кожній її точці дорівнює – 2х .

10. Знайти рівняння кривої , яка має властивість , що кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці кривої в 2 рази менший абсциси точки .

11. Швидкість тіла , що виходить із стану спокою , дорівнює 5t² за час t секунд . Знайти шлях , який пройде тіло за 3с.

12. Скласти рівняння руху тіла по осі оХ , якщо воно почало рух з точки М(4;0) із швидкістю v=2t+3t².

13. Швидкість розпаду радію пропорційна його кількості в даний момент часу . Знайти закон радіоактивного розпаду , якщо відомо , що через 1600 років залишиться половину початкової кількості радію .

14. Швидкість розмноження деяких бактерій пропорційна їх кількості в деякий момент часу t . Кількість бактерій потроїлася протягом 5 год Знайти залежність кількості бактерій від часу .