§1.Поняття про диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням називається рівняння , що містить незалежну змінну х , шукану функцію у і її похідні різних порядків .

Приклад . .

Найвищий порядок похідної , що входить в рівняння називається порядком рівняння .

Функція , яка перетворює рівняння в тотожність , називається інтегралом ( або розв’язком ) цього рівняння .

Розв’язок рівняння , який містить стільки незалежних довільних сталих , який порядок рівняння називається загальним розв’язком .

Розв’язок при конкретних значеннях сталих називається частковим розв’язком .

Графік розв’язку називається інтегральною кривою .

Задача знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння , що задовольняють заданим початковим умовам називається задачею Коші.

Вправи

1. Визначить , які із нижче вказаних рівнянь є диференціальними :

1) +3х=0 ; 2)

2 . Дано функції , y= C x , . Які із них є розв’язком диференціального рівняння ?

3. Дано рівняння Яка із функцій у=3х+1 або у=Сх+1 є його розв’язком ?

4. Перевірити , чи є функція у= х²+х+С розв’язком диференціального рівняння dy=(2x+1)dx .

5. Показати , що функція є розв’язком рівняння .

6. Чи є функція х=у²+С розв’язком рівняння х²dx = ydy?

7. Знаючи , що функція у = Сх + С є загальним розв’язком рівняння знайдіть його частинний розв’язок , якщо у(1)=5.

8. Знайдіть загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння