Лекция № 6. Численное дифференцирование.

1. Вычисление производной по её определению.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет производную в этой точке, то есть существует предел отношения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Значение производной в точке можно получить, переходя к пределу в (1) по последовательности целых чисел п и полагая, например, . Здесь - некоторое начальное приращение аргумента, - некоторое число, большее единицы, . Тогда значение производной функции в точке запишется так:

.

Отсюда получаем приближённое равенство

.

Для функции , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно в окрестности точки , точность приближения можно установить, воспользовавшись формулой Тейлора:

.

Для достижения заданной точности  приближения производной можно при определённом (конечном) числе вычислений использовать неравенство:

.

Пример 1. Вычислить производную функции в точке с точностью .

Решение. Положим , откуда: .

Определим приближённое значение производной:

Найдём отношения, аппроксимирующие производную:

.

Заметим, что . Таким образом, начиная с третьего приближения, в соответствии с оценкой (3), получаем искомое приближение производной данной функции с точностью не меньшей заданной. Точное значение .

2. Конечно-разностные аппроксимации.

Пусть отрезок разбит на п равных частей точками .

Разность расстояний между соседними значениями аргумента постоянна, то есть шаг . Далее, пусть на отрезке определена функция , значения которой в точках равны .

Запишем выражения для первой производной данной функции в точке с помощью отношения конечных разностей следующих типов:

а) аппроксимация с помощью разностей вперёд (правых разностей)

;

б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)

;

в) аппроксимация с помощью центральных разностей (точка является центром системы точек ):

.

Очевидно, что аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое отношений (4) и (5) в точках . Отметим, что соотношения (4) и (6) не позволяют вычислить значение производной в правом конце отрезка а, а соотношения (5) и (6) – в левом конце отрезка .

Можно показать, что для функции , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперёд и назад имеет один и тот же порядок , а погрешность аппроксимации центральными разностями для функции, имеющей непрерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок .

Приближённое значение производной второго порядка в точке выразим через значения функции . Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:

,

а производные первого порядка и - с помощью левых разностей:

и окончательно получим:

.

Погрешность последней аппроксимации имеет порядок для функции , имеющей непрерывную производную до четвёртого порядка включительно на отрезке . Естественно, представление (7) позволяет вычислять значения производной с помощью конечных разностей только во внутренних точках отрезка.