3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда

Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

Эти свойства равномерно сходящихся рядов мы будем использовать при изучении степенных рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать из этих теорем тонкие и важные выводы. Ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем, поэтому его сумма равна:. Мы доказали, что этот ряд равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1,1), поэтому его можно почленно проинтегрировать в пределах от 0 до : . Вычисляя интегралы, получаем. Это не только неожиданное и красивое представление числав виде ряда, но и удобный способ его вычисления с любой точностью с простой оценкой остатка по первому отброшенному члену, так как получен ряд Лейбницевского типа.