17. Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), причём степень числителя P(x) ниже степени знаменателя Q(x). Решается данная задача с помощью метода неопределённых коэффициентов. Если знаменатель правильной рациональной дроби раскладывается на множители:Q(x) = (x-a)^a (x-b)^b (x²+px+q)^y…(x²+kx+r)^z, где корни трёхчленов комплексные, то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей:

P(x)/Q(x) = A₁/ (x-a)+A₂/ (x-a)²+…+A_a /(x-a)^a+B₁/(x-b)+B₂/ (x-b)²+…+B_b/ (x-b)^b+…+(M₁x+N₁)/ (x²+px+q)+ (M₂x+N₂)/ (x²+px+q)²+…+(M_yx+N_y)/ (x²+px+q)^y+…+(C₁x+D₁)/ (x²+kx+r)+(C₂x+D₂)+ …+(С_zx+D_z)/ (x²+kx+q)^z ,

(a, b, …, z принадлежат N). Для вычисления неопределённых коэффициентов A₁, A₂,…, обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве x равным числам, подобранным соответствующим образом. P(x) и Q(x) – многочлены