11.Понятие неопределенного интеграла
Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x)/
Опр.Множество всех первообразных для ф–ции f(x) называется неопределённым интегралом от ф–ции f(x) и обозначается
f(x)–подинтегральная ф–ция
f(x)dx–подинтегральное выражение
x– переменная интегрирования
Отыскание неопределённого интеграла от подынтегральной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.
12.Основные св–ва неопределённого интеграла
1)
Док–во:
2)
3)
4)
5)
13.Интегралы от основных функций
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14.Метод замены переменной
Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t), ψ(t) - где дифференц. фун-ция.
15.Метод интегрирования по частям
Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.
Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.
d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;
J UdV= UV- J VdU
Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:
I. J P(x) arcsinxdx
J P(x) arccosxdx
J P(x) arctgxdx
J P(x) arcctgxdx
за U берем обратную тригонометрическую функцию
II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) eαxdx – за U берем P(x)
III. J eαx*sinβxdx; Jeαxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.
16.
- 1.Понятие функции нескольких переменных.
- 2. Предел и непрерывность функции двух переменных.
- 3. Непрерывность.
- 4. Частные производные.
- 6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- 7. Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- 10. Методы наименьших квадратов…
- Метод наименьших квадратов
- 11.Понятие неопределенного интеграла
- 17. Интегрирование рациональных функций.
- 18. Интегрирование рациональных функций.
- 20. Приложение определенного интеграла в геометрии и экономике.
- 22. Формула Ньютона-Лейбница.
- 23,24. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- 25.Площадь плоской фигуры.
- 26.Объем тела вращения.
- 28. Несобственные интегралы.
- Интегралы с бесконечными пределами.
- 29. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- 30. Приближенное вычисление опред. Интеграла
- 31. Дифференциальные уравнения (основные понятия).
- 32. Ду первого порядка. Задача и теорема Коши.
- 35.Ду с разделяющимися переменными.
- 37 Линейные ду первого порядка
- 39. Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- 40. Линейные неоднородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами и спец-й правой частью.
- 41. Метод вариации произвольной постоянной
- 42.43. Понятие числового ряда и сумма ряда. Геометрический ряд. Некоторые свойства числовых рядов.
- 44. Необходимый признак сходимости.
- 45. Признак сравнения
- 46. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка.
- 47. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- 48. Понятие функционального ряда. Область сходимости.
- 49.Степенные ряды. Теорема Абеля
- 50.Свойства степенных рядов
- 51,52.. Разложение в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена.
- 53. Разложение функций sin X, cos X, ex в ряд Маклорена. Биномиальный ряд