logo
vyshka шпоры

4. Частные производные.

Частные производные. Опр.: если существует предел lim∆x0 , то он называется частной производной по х и обозначается , zx . Аналогично .

Из определения частных производных следует, что каждая частная производная функции двух переменных находится как производная функции одной переменной, где вторая переменная постоянна.

Производные высших порядков. z = f (x,y)

zxx= (zx)x ; zxy= (zx)y ; zyy= (zy)y ; zyx= (zy)x

Если в некоторой окрестности точки М0(х0,у0) производные fху и fyx существуют и непрерывны в точке М0, то они равны между собой в этой точке, то есть fху (х0,у0) = fyx (х0,у0).

5. Дифференцируемость функции. Опр.: функция z = f (x,y) называется дифференцируемой в точке М0(х0,у0) , если ее полное приращение в этой точке можно представить в следующем виде: ∆z = А∆x+В∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y (*), где А, В – независимые от ∆x и ∆y числа, (∆x,∆y) и (∆x,∆y) – бесконечно малые функции при ∆x0, ∆y0.

Необходимые условия дифференцируемости функции.

Теорема: если функция z = f (x,y) дифференцируема в точке М0(х0,у0), то 1) она непрерывна в этой точке, 2) она имеет в точке М0(х0,у0) частные производные fх (х0,у0) и fy (х0,у0), при этом fх (х0,у0) = А , fy (х0,у0) = В.

Доказательство: 1) так как по условию теоремы функция дифференцируема в точке М0, то имеет место равенство (*). Найдем lim ∆x0. ∆y0 ∆z = lim ∆x0. ∆y0 (А∆x+В∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y) = 0. Отсюда следует, что функция непрерывна в точке М0. Заметим, что из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

2) в равенстве (*) положим ∆y=0, тогда ∆z = ∆хz. ∆хz = А∆x+(∆x,0)∆x, полученное равенство разделим на ∆x и перейдем к пределу при ∆x0: lim∆x0 = lim∆x0 (А++(∆x,0)) = А + 0 = А. Мы получили, что lim∆x0 = А  zx = А. Аналогично можно доказать, что существует zу = В.

Используя полученные результаты, равенство (*) можно записать так: ∆z = ∆x+ ∆y+(∆x,∆y)∆x+(∆x,∆y)∆y (**). Заметим, что из существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции.