Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля

Количественное натуральное число: С теоретико-множественной точки зрения количественное натуральное число - это общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств.

Ноль - это количественная характеристика пустого множества, 0=n

Отрезок натурального ряда. Пусть а - натуральное число, тогда множество всех натуральных чисел, не превосходящих числа а, называют отрезком натурального ряда и обозначают N_a.

Пересчитать элементы конечного множества X - это значит установить взаимно однозначное соответствие между множеством X и отрезком натурального ряда Na , число а будет называться числом элементов в множестве X и обозначаться n(X) = а

Правила пересчета:

1. начинать пересчет можно с любого элемента множества,

2. ни один элемент не должен быть пропущен,

3. каждый элемент считают только один раз.

Количественное натуральное число отвечает на вопрос «сколько элементов в множестве?» и выражается числительными «один», «два», «три», и т.д.

Порядковое натуральное число отвечает на вопрос «которым по счету является данный элемент в множестве?» и выражается числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.

Равные натуральные числа. Натуральные числа а и b называются равными, если они являются характеристиками равномощных множеств. a=b  n(A)=n(B), n(A)=a, n(B)=b, A B.

Свойства отношения равенства на N.

1. рефлексивность (aN), a=a

2. симметричность (a,bN), если a=b, тоb=a

3. транзитивность а,b,cN), если а=b, b=с, то а=с

Отношение «меньше» на N

1 подход Пусть а и b - натуральные числа, а < b  N_a является собственным подмножеством N_b, т.е. N_a  N_b N_a  N_b, N_a  

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b.

2 подход Пусть а и b - натуральные числа

а < b  Из множества, в котором b элементов можно выделить собственное подмножество из а элементов.

Свойства отношения «меньше» на N.

– антирефлексивность х х<х, т.е. ни одно натуральное число не может быть меньше само себя т.к. ни из одного конечного множества, в котором х элементов , нельзя выделить собственное подмножество из х элементов.

– антисимметричность x,уN), если х<у, то у<х, т.е. если первое число меньше второго числа, то второе число не может быть меньше первого. Если х<у , то из множества, в котором у элементов, можно выделить собственное подмножество из х элементов. Значит, из множества, в котором х элементов, нельзя выделить собственное подмножество из у элементов.

– транзитивность х,у,zN), если х<у, y<z, то у<z (рассуждения аналогичны)

Отношение обладает связанностью, т.к. x,уN), если ху, то х<у, либо у<х. (Из двух разных натуральных чисел одно обязательно меньше другого).

Порядок + антирефлексивность + связанность дают строгий линейный порядок, значит, множество N линейно упорядоченно с помощью отношения « меньше ».

1<2<3<4<…..1,2,3,4….

Свойства множества N.

1. Линейно упорядоченно.

2. Есть наименьший элемент - это 1.

3. Нет наибольшего элемента.

4. Бесконечное множество, т.к. содержит собственное подмножество, равномощное самому себе.

5. Дискретно, т.е. существуют такие натуральные числа х и у, что если х<у, то нет натурального числа z: x<z<у.