Математические доказательства

Умозаключение - это способ получения нового знания на ос­нове некоторого имеющегося. При этом мы не обращаемся к исследованию предметов и явлений самой действительности, а открываем такие связи и отношения между ними, которые невозможно увидеть непосредственно. Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это высказывания, содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного. В умозаключении из посылок выводится заключение.

Дедуктивным называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении ло­гического следования.

Неполная индукция- это умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы, полученные с помощью неполной индукции, носят характер предположения, гипотезы. Их надо либо доказывать, либо опровергать.

Аналогия (с греч. - соответствие, сходство). Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них дела­ется вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Вывод по аналогии носит характер предположения, гипо­тезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в оп­ровержении.

Правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений.

Математическое доказательство - это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по опреде­ленным правилам.

Правила вывода или схемы дедуктивных (правильных) умозаключений. Наиболее часто используются следующие:

Доказать какое-либо утверждение - это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

Доказательство - это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений. Различают прямые и косвенные доказательства.

Полная индукция -такой способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. Относят к прямым доказательствам.

Метод от противного. Его суть состоит в следующем. Пусть надо доказать теорему А В. Вместо нее пробуют доказать теорему В А. Если это удалось, то по закону контрапозиции делают вывод , что теорема А В тоже истинна.