Математические понятия

Математическое понятие – это результат выделения из предметов и явлений окружающего мира количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования их от всех других свойств

Объем понятия – это множество всех реальных и идеализированных объектов, к которым относится данное понятие, называемое одним термином.

Свойство считают существенным для понятия, если оно присуще всем объектам, принадлежащим объему этого понятия, и без него понятие существовать не может.

Свойство считают несущественным для понятия, если его отсутствие не влияет на существование объекта из объема этого понятия.

Содержание понятия – это множество существенных свойств, которые все вместе присущи только тем объектам, к которым относится это понятие.

Отношения между понятиями.

Пусть даны понятия А и В. если V_A является собственным подмножеством V_B (V_AV_B; V_A V_AV_B), то говорят, что:

1. А – видовое понятие для В, В – родовое понятие для А, или

2. А – более узкое понятие, чем В, В – более широкое понятие, чем А, или

3. А – частный случай понятия В, В – обобщение понятия А.

Тождественные понятия: Понятия А и В называют тождественными, если их объемы равны

Определение понятия – это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Явные определения имеют вид «Понятие А есть понятие В», т.е имеют форму равенства двух понятий, где А -определяемое понятие, В – определяющее понятие.

Через род и видовое отличие		Определяемое понятие	=	Родовое понятие	+	Видовое отличие
				Определяющее понятие
Генетические		Определяемое понятие	=	Родовое понятие	+	Способ получения
				Определяющее понятие
Индуктивные	В индуктивных определениях указываются некоторые объекты теории и правила, позволяющие получать новые объекты из уже имеющихся.

Неявные определения не имеют форму равенства двух понятий.

Остенсивные	Определения путем показа. Используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этим термином обозначаются.
Контекстуальные	В этих определениях через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации описывается смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими известными понятиями, и тем самым косвенно раскрывается его содержание.

Требования к определению понятий:

1. Определение должно быть соразмерным, т.е. объмы определяемого и определяющего понятий должны совпадать.

2. В определениях или их системе не должно быть «порочного круга», т.е. нельзя определять понятие через само себя или через другое понятие, которое, в свою очередь, определяется через него.

3. Определение должно быть ясным, т.е. значение всех терминов из определения должны быть известны слушателю к моменту введения этого определения.

4. Определение не должно быть избыточным, т.е. в видовое отличие должно включать лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

5. Объем определяемого понятия не должен быть пустым, т.е. должен существовать хотя бы один объект, принадлежащий объему определяемого понятия.