Высказывания

Логика - это наука о следовании одних предложений из других. Одним из основных понятий логики является высказывание

Высказывание - это утверждение, о котором имеет смысл задавать вопрос - истинно он или ложно. Обозначения: A, B, C, D.

Высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок, называется составным.

Логические связки – и, или, не, если-то, тогда и только тогда, когда

Простым или элементарным называют высказывание, не являющееся составным.

Равносильными называют высказывания, если они принимают одинаковые значения истинности, т.е. либо одновременно истинные, либо одновременно ложные.

Конъюнкцией высказывания А и В называют высказывание " А и В ". Конъюнкция истинна только в одном случае - когда истинны оба высказывания.

Обозначение: АВ, А & В

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание " А или В ". Дизъюнкция высказывания ложна только в одном случае - когда оба высказывания ложны.

Обозначение: АВ

Импликацией высказываний А и В называют высказывание "если А ,то В". Импликация ложна только в одном случае - когда А истинно, В ложно.

Обозначение: АВ

Отрицанием высказывания А называется высказывание "не А".

Обозначение:  А, Ā

Эквиваленцией высказываний А и В называют высказывание " А тогда и только тогда, когда В". эквиваленция истинна, если оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Обозначение: АВ

Предикат – это предложение с одной или несколькими переменными, которое при подстановке конкретных значений вместо переменных обращается в высказывание.

Предикат – это свойство одного или нескольких объектов ( переменной или переменных).

По числу переменных различают одноместные (А(х)), двухместные (А(х, у)) и т.д. предикаты.

Пусть А(х) – одноместный предикат. Область определения А(х) – это множество вех тех значений переменной , при подстановке каждого из которых А(х) обращается в высказывание( истинное или ложное). Обозначение :Х.

Множество истинности А(х): Пусть на множестве Х задан предикат А(х). Множество истинности А(х) – все те значения переменной из множества Х, которые обращают А(х) в истинное высказывание.

Обозначение: Т_А(х)

Квантором общности по переменной х называется выражение «Для всякого х»

Обозначение: х

Запись х А(х) является высказыванием и означает, что каждый элемент множества Х обращает А(х) в истину (т.е. обладает свойством А(х))

Квантором существования по переменной х называется выражение «Существует х такое, что»

Обозначение: х

Запись х А(х) является высказыванием и означает, что существует такой элемент из множества Х, который обращает А(х) в истину ( т.е. обладает свойством А(х) ).

В логике слово «некоторые» означает «по меньшей мере один, но может быть и все»

Установление значения истинности:

Высказывание с квантором общности:

Высказывание с квантором существования:

Способы построения отрицаний высказываний с кванторами:

1. С помощью слов «неверно, что», то есть отрицание относят ко всему высказыванию

2. Заменой кванторов. Квантор общности заменяют на квантор существования, и наоборот, а отрицание относят к предикату.

Отношение логического следования: Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что В(х) логически следует из А(х), если всякий раз, когда А(х) обращается в истину, В(х) тоже обращается в истину. В этом случае истинно высказывание (*) хХ А(х)В(х) (и)

Способы чтения высказываний (*):

1. Из А(х) следует В(х). (и)

2. Если А(х), то В(х). (и)

3. Всякое А(х) есть В(х). (и)

4. В(х) есть следствие А(х). (и)

5. Чтобы А(х), необходимо, чтобы В(х). (и)

6. Чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х). (и)

Отношение равносильности между предикатами: Пусть на множестве Х заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что А(х) и В(х) равносильны на множестве Х, если каждый из них логически следует из другого. В этом случае истинно высказывание (**) хХ А(х)В(х) (и)

Способы чтения высказываний (**):

1. Чтобы А(х), необходимо и достаточно, чтобы В(х). (и)

2. Чтобы В(х), необходимо и достаточно, чтобы А(х). (и)

3. А(х) равносильно В(х). (и)

4. В(х) равносильно А(х). (и)

5. А(х) тогда и только тогда, когда В(х). (и)

6. В(х) тогда и только тогда, когда А(х). (и)

Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается путем доказательства (общие рассуждения).

Теорема (1): хХ А(х)В(х) (и)

А(х) – достаточное условие для В(х), В(х) – необходимое условие для А(х).

Способы формулировки теоремы (1):

1. Если А(х), то В(х).

2. Чтобы А(х), необходимо, чтобы В(х).

3. Чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х).

4. В(х) есть следствие А(х).

5. Всякое А(х) есть В(х).

Виды теорем: Пусть на множестве Х даны предикаты А(х) и В(х). Тогда можно сформулировать 4 высказывания с квантором общности:

1. хХ А(х)В(х) – данное высказывание

2. хХ В(х)А(х) – высказывание, обратное данному

3. хХ А(х)В(х) – высказывание, противоположное данному

4. хХ В(х) А(х) – высказывание, обратное противоположному

Если высказывание вида (1), (2), (3), (4) является истинным, то его называют теоремой

Закон контрапозиции: Высказывания вида (1) и (4), (2) и (3) либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.