Теоретико-множественный смысл операций на множестве Теоретико-множественный смысл суммы

Суммой целых неотрицательных чисел (ц.н.ч.) a и b называется ц.н.ч. c, равное числу элементов объединения множеств А и В, таких, что n(A)=a, n(B)=b

a+b=n(A)+n(B)=n(, если 

Сложение Действие, с помощью которого находят сумму целых неотрицательных чисел, называется сложением

Сумма трех и более слагаемых Суммой а₁+а₂+а₃ называется сумма (а₁+а₂)+а₃, т.е. а₁+а₂+а₃=(а₁+а₂)+а_3. Аналогично а₁+а₂+а₃+а₄=((а₁+а₂)+а₃)+а_4., т.е. вычисление суммы любого конечного числа слагаемых сводится к нахождению суммы двух слагаемых.

Теорема о существовании и единственности суммы ц.н.ч.

a,b_c_ c=a+b

Каковы бы ни были ц.н.ч. a и b, существует ц.н.ч. с, равное их сумме, и притом только одно.

Законы сложения

• Коммутативный (переместительный)

a,b_a+b=b+a

От перестановки слагаемых значение суммы не меняется

• Ассоциативный (Сочетательный)

a,b,с_ (a+b)+с=a+(b+c)

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно (достаточно) к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

• Следствия из ассоциативности и коммутативности сложения

Эти законы позволяют произвольно группировать соседние слагаемые и произвольно менять местами слагаемые, что упрощает вычисления

Монотонность суммы

ТЕОРЕМА 1 a,b,с_ если b<a, то c+b<c+a

Сумма возрастает, если возрастает одно слагаемое, а другое слагаемое не меняется

ТЕОРЕМА 2 a,b,с,d_ если a<b,c<d, то a+c<b+d

Сумма возрастает, если возрастают оба слагаемые

ТЕОРЕМА 3 a_ а+0=а (Основано на свойстве  na, n)